热门试卷

解：（I）∵SA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥SA

∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC、SA是面SAC内的相交直线，

∴BC⊥面SAC

又∵AD⊂面SAC，∴BC⊥AD，

又∵SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内的相交直线，

∴AD⊥面SBC；

（II）连结BD

∵AD⊥面SBC，∴BD是AB在平面ADC内的射影，可得∠ABD就是AB与平面SBC所成角

∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AB==2，

又∵Rt△ASB中，SA=AB，∴SB=AB=2

因此，Rt△SBC中，SC==3，得中线BD=SC=

Rt△ABD中，cos∠ABD==，得sin∠ABD==

即AB与平面SBC所成角的正弦值是．

解：（1）证明：SA⊥底面ABCD，AB，AD⊂底面ABCD；

∴SA⊥AB，SA⊥AD；

又AB⊥AD；

∴AD，AB，AS三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），O（1，1，1）；

∴，；

∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA=A；

∴AD⊥平面SAB；

∴是平面SAB的一条法向量；

∵；

∴，且OD⊄平面SAB；

∴OD∥平面SAB；

（2），；

设平面SBC的法向量为，则：

；

取z=1，则；

设直线SD与平面SBC所成角为θ，则：

sinθ==；

∴直线SD与平面SBC所成角的正弦值为．

（1）证明：因为M是线段AB的中点，AC=BC

所以CM⊥AB，又AE，AC，BC两两互相垂直，

故AE⊥平面ABC，

因为CM⊂平面ABC，

所以AE⊥CM

因为AB∩AE=A

所以CM⊥平面ABE，

因为EM⊂平面ABE，

故CM⊥EM．

（2）解：设M在平面CDE的射影为H，令CH交DE于F，连接MF，EH．∠MEH为直线EM与平面CDE所成角…6′

因为CM⊥平面ABE，所以DE⊥MC，又DE⊥MH，MC∩MH=M

所以DE⊥平面MCF，故DE⊥MF，

令AE=a，M是线段AB的中点，AC=BC=BD=2a，AB=

在直角梯形ABDE中可得：ME=，

DE=3a，MD=，∴∠EMD=90°

在△DME中可得：MF=

在△FMC中可得：MH=a，∴

直线EM与平面CDE所成角的余弦值为．

证明：（1）取AB中点G，连CG，GF，则GF∥BE，且GF=BE．

∴GF∥CD且GF=CD

∴四边形FGCD为平行四边形．∴DF∥CG，

∵CG⊂平面ABC又DF⊄平面ABC

∴DF∥平面ABC．

（2）设A到平面BDF距离为h，由VA-BDF=VD-ABF知

又△BDF中，BF=，BD=DF=，∴，

∴

设AB与平面BDF所成角为θ，则

（1）证明：作A1F⊥BE于F，A1G⊥CD于G，连FG．

∵AB：AD=1：2，E是AD中点，

∴AB=AE，即A1BA1E．

∵A1F⊥BE，

∴AF=FE，

∵A1C=A1D，A1G⊥CD，

∴CG=GD，

∴FG是梯形BCDE的中位线，

∴BC∥FG∥DE，

∴FG⊥CD．

∵A1G⊥CD，

∴CD⊥面A1FG，

∴CD⊥A1F．

∵A1F⊥BE，

∴A1F⊥面BCDE，

∵A1F⊂面A‘BE，

∴面A1BE⊥面BCDE；

（2）解：连接CE，则

∵，BC=2，

∴BE2+CE2=BC2，

∴CE⊥BE，

∵面A1BE⊥面BCDE，面A1BE∩面BCDE=BE，

∴CE⊥面A1BE，

∴∠CA1E为A1C与面A1BE所成角，

∴tan∠CA1E==．

（1）证明：连接BD、AC交于点O，连接EO

∵E、O分别是SA、AC的中点．

∴EO∥SC

∵SC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE

∴SC∥平面BDE；

（2）解：∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD

∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD

∴AB⊥平面SAD，

∵DE⊂平面SAD

∴DE⊥AB．

∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．

作AF⊥BE，垂足为F．

∵平面BED⊥平面SAB，∴AF⊥平面BED，∴∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．

设AD=2a，则AB=a，SA=2a，AE=a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．

在Rt△AFE中，sin∠AEF==，∴∠AEF=45°

故直线SA与平面BED所成角的大小45°．

解：（1）如图，设G是AA1的中点，连接GE，BG；

∵E为DD1的中点，ABCD-A1B1C1D1为正方体；

∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1；

∴GE⊥平面ABB1A1；

∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG=θ；

设正方体的棱长为a，∴GE=a，，；

∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为：sinθ=；

（2）证明：如图，连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH；

∵H为AB1的中点，且B1H=C1D，B1H∥C1D；

而EF=C1D，EF∥C1D；

∴B1H∥EF且B1H=EF；

∴四边形B1FEH为平行四边形；

∴B1F∥HE；

又∵B1F⊄平面A1BE，HE⊂平面A1BE；

∴B1F∥平面A1BE．