- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
在正方体A1C中，对角线A1C与平面B1BCC1所成的角是（ ）
正确答案
解析
解：∵正方体A1C中，A1B1⊥平面B1BCC1，
∴直线B1C是直线A1C在平面B1BCC1内的射影
因此∠A1CB1就是直线A1C与平面B1BCC1所成的角
故选：A
（文）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1所成的角大小为______．
正确答案
30°
解析
由正方体的性质可得B1O⊥A1C1，B1O⊥AA1且AA1∩A1C1=A1
∴B1O⊥平面AA1C1C
∴∠B1AO即为直线与平面所成的角
设正方体的棱长为a，则 OB1=
在Rt△B1OA中 sin∠B1AO=
∴∠B1AO=30°
故答案为：30°．
正方体，ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为（ ）
正确答案
解析
∴BO⊥平面AA1C1C
∴∠BA1O即为直线与平面所成的角
设正方体的棱长为a，则
在Rt△BOA1中
∴∠BA1O=30°
故选A．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M为AB的中点．求：
（Ⅰ） 异面直线CM与PD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）直线PD与平面PMC成角的正弦值．
正确答案
（Ⅰ） 
则cosα=
（Ⅱ）
设平面PMC的法向量为
设直线PD与平面PMC成角为θ，则
解析
（Ⅰ）
则cosα=
（Ⅱ）
设平面PMC的法向量为
设直线PD与平面PMC成角为θ，则
A
B
C
D
正确答案
解析
∵G为A1C1的中点，棱长为
∴GM=
在平面EFG上作FN⊥GE，则∵△GFE是等腰三角形，∴FN=
∴S△GEF=
S△EFB1=S正方形ABB1A1-S△A1B1F-S△BB1E-S△AFE=
作GH⊥A1B1，GH=
∴V三棱锥G-FEB1=
设B1到平面EFG距离为h，则V三棱锥B1-EFG=
∵V三棱锥G-FEB1=V三棱锥B1-EFG，
∴
∴h=
设B1F与平面GEF成角为θ，
∵B1F=
∴sinθ=
∴B1F与面GEF所成的角的正弦值为
故选A．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意做出折叠前与折叠之后图形为：
由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，所以折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MH=60°，并且B′在底面ACB内的投影点H就在BC上，且恰在BM的中点位置，连接B′A和AH，在直角三角形ACH中AH=
故选B
在棱长为4的正方形ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1=4CP，点E在棱A1D1上，且A1D1=4ED1，求直线BE与平面APD1所成角的正弦值______．
正确答案
解析
解：分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立坐标系，
∵在棱长为4的正方形ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1=4CP，点E在棱A1D1上，且A1D1=4ED1，
∴B（4，4，0），E（1，0，4），A（4，0，0），P（0，4，0），D1（0，0，4），
∴
设平面APD1的法向量为
∴cos＜
故为
故答案为：
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，CE=2，求直线EF与平面BDF所成角的正弦值．
正确答案
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，…（2分）
∵AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥BD；…（4分）
又∵AC∩AF=A，AC，AF⊂平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF，…（6分）
又∵EF⊂平面ACEF，
∴BD⊥EF； …（7分）
（Ⅱ）解：连接OE，OF，由（Ⅰ）知，BD⊥平面ACEF，
∴平面BDF⊥平面ACEF，
过E作EH⊥OF交于点H，则EH⊥平面BDF，
∴∠EFH即为直线EF与平面BDF所成的角．…（10分）
在△EFO中，EF=3，FO=
∴△EFO为直角三角形（H点为O点）
∴sin∠EFH=
解析
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，…（2分）
∵AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥BD；…（4分）
又∵AC∩AF=A，AC，AF⊂平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF，…（6分）
又∵EF⊂平面ACEF，
∴BD⊥EF； …（7分）
（Ⅱ）解：连接OE，OF，由（Ⅰ）知，BD⊥平面ACEF，
∴平面BDF⊥平面ACEF，
过E作EH⊥OF交于点H，则EH⊥平面BDF，
∴∠EFH即为直线EF与平面BDF所成的角．…（10分）
在△EFO中，EF=3，FO=
∴△EFO为直角三角形（H点为O点）
∴sin∠EFH=
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：面SAB⊥面SBC；
（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．
正确答案
（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
∴四棱锥S-ABCD的体积：
V=
=
（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB
∵BC⊂面SBC
∴面SAB⊥面SBC．
（3）解：连接AC，
∵SA⊥面ABCD，
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．
在三角形SCA中，
∵SA=1，AC=
∴
解析
（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
∴四棱锥S-ABCD的体积：
V=
=
（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB
∵BC⊂面SBC
∴面SAB⊥面SBC．
（3）解：连接AC，
∵SA⊥面ABCD，
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．
在三角形SCA中，
∵SA=1，AC=
∴
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）当三棱锥A-BCD的体积取得最大值时，求线段AC的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别取BC，AC的中点E、M，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求此时EN与平面BMN所成角的大小．
正确答案
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥BD，
∵CD⊥AD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵AB⊂平面ABD，
∴AB⊥CD；
（Ⅱ）解：设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴VA-BCD=
设f（x）=
∵f′（x）=
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大，此时AC=2
（Ⅲ）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，由（Ⅱ）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（
且
设N（0，λ，0），则
∵EN⊥BM，∴
即（-1，1，1）•（-
∴当DN=
设平面BMN的一个法向量为
由
得
设EN与平面BMN所成角为θ，则
sinθ=|cos＜
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°．
解析
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥BD，
∵CD⊥AD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵AB⊂平面ABD，
∴AB⊥CD；
（Ⅱ）解：设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴VA-BCD=
设f（x）=
∵f′（x）=
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大，此时AC=2
（Ⅲ）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，由（Ⅱ）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（
且
设N（0，λ，0），则
∵EN⊥BM，∴
即（-1，1，1）•（-
∴当DN=
设平面BMN的一个法向量为
由
得
设EN与平面BMN所成角为θ，则
sinθ=|cos＜
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°．
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