热门试卷

解：（I）如图，连接EO，

∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，

∴O是AC的中点，

∵E是侧棱SC的中点，

∴EO是△ASC的中位线，

∴EO∥SA，

∵SA⊂面ASC，EO不包含于面ASC，

∴直线SA∥平面BDE．

（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，

O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，

异面直线SA和BC所成角的大小是60°，

∴SA=4，SO=2，

∴B（2，2，0），C（-2，2，0），S（0，0，2），D（-2，-2，0），

∴，，，

设面SBC的法向量为，

则，，

∴，

∴，

设直线BD与平面SBC所成角为θ，

则sinθ=|cos＜＞|=||=．

证明：（1）连接OE，∵E是PC的中点．O是AC的中点．

∴OE∥PA，

∵OE⊂平面BDE 

PA⊄平面BDE，

∴PA∥平面BDE．

（2）若四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于a，

∴各侧面都是边长为a的等腰三角形，

∵PO⊥底面ABCD，

∴平面PAC⊥底面ABCD，

取OC的中点F，连接EF，

则EF∥PO，

且EF⊥底面ABCD，

则BF是BE在平面ABCD上的射影，

则∠EBF是BE与平面ABCD所成的角，

∵OC=OB=，

∴PO===，

则EF=，BE=

则sin∠EBF==．

证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD

∴PD⊥AC，

∵PD∩BD=D，

且PD⊂平面PDB，BD⊂平面PDB

∴AC⊥平面PDB，

∵AC⊂平面AEC

∴平面AAEC⊥平面PDB；

解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE∥PD，OE=PD，又∵PD⊥底面ABCD，，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，

∴∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），

设G（0，2，h），则．∵AC1⊥EG，∴．

∴-1×0+1×（-2）+2h=0．∴h=1，即G是AA1的中点．

（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则．

所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）

∵，

∴，即AC1与平面EFG所成角θ为

解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．

又CC1⊥平面ABC，而ED⊂平面ABC，∴CC1⊥ED．

∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1．

又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG．

连接A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C∥DG．

∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点．

（Ⅱ）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，

∴E、F、M、G共面．作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，

C1H⊂平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC∥GM，∴GM⊥C1H．∵GM∩FM=M，

∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ．

因为，∴，∴．

解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面ABCD．

∴平面PDC⊥平面ABCD．

过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角．

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF=，CF=3，

∴tan∠FDG=，∴∠FDG=60°．

即直线AB与平面PDC所成角为60°．…（6分）

（Ⅱ）连接EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB．

又∵DE∥平面PAB，DE∩DF=D

∴平面DEF∥平面PAB，

∵EF⊂平面DEF，∴EF∥AB．

又∵AD=1，BC=4，BF=1

∴

∴=，即λ=…（14分）

解（Ⅰ）证明：取A1B1的中点P，连接NP、AP，

则NP∥AM，，

∴四边形AMNP为平行四边形，∴MN∥AP．

∵MN⊄面ABB1A1，AP⊂面ABB1A1，

∴MN∥侧面ABB1A1．

（Ⅱ）∵MN∥AP，∴MN与平面ABC所成的角和AP与平面ABC所成的角相等．连接PB，

∵四边形ABB1A1为菱形，且∠A1B1B=60°，∴PB⊥AB．

∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，

∴PB⊥底面ABC，∴∠PAB为直线PA与面ABC所成的角．

∵，∴，∴，

即MN与面ABC所成的角为．