热门试卷

（Ⅰ）证明：取AB中点E，连结ME，CE，则有ME与NC平行且相等．

∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE             …（2分）

∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC，

∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．…（4分）

（Ⅱ）解：以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如图，B（1，0，0），N（，，1），B1（1，0，2），M（λ，0，2λ），

=（-λ，，1-2λ），=（1，0，0），=（，，1）

…（6分）

设=（x，y，z）是平面ABN的一个法向量，则

∴∴，令y=1，∴=（0，1，）…（8分）

设MN与面ABN所成角为θ，

则sinθ===…（10分）

=，化简得3λ2+5λ-2=0，λ=-2或，

由题意知λ＞0，∴．…（12分）

（Ⅰ）证明：连接B1C，则

∵DC∥A1B1，

∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴A1D∥B1C，

∵A1D⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，

∴A1D∥平面BCC1B1；

（Ⅱ）解：△DA1C1中，A1D=C1D=，A1C1=1，

∴=

设C到平面DA1C1的距离为h，则由等体积可得=••h，

∴h=，

∴直线CC1与平面DA1C1所成角的正弦值为=．

（Ⅰ） 证明：由∠APC=90°知，PA⊥PC，

又AP=PC=2，所以AC=2，…（2分）

又AB=4，BC=2，所以AC2+BC2=AB2，

所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，…（3分）

又侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC平面=AC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥平面ACP，所以PA⊥BC，…（5分）

又PC∩BC=C，所以PA⊥平面PBC…（6分）

（Ⅱ）解：如图，取AC中点O，连接PO、OB，并取OB中点H，连接AH、EH，

因为PA=PC，所以PO⊥AC，

∵BC⊥平面ACP，PO⊂平面ACP

∴BC⊥PO

∵AC∩BC=C，∴PO⊥平面ABC，

又E为侧棱PB的中点，H为OB中点，∴EH∥PO

∴EH⊥平面ABC，…（8分）

∴∠EAH为直线AE与底面ABC所成角，且sin∠EAH=…（10分）

又PO=AC=，∴EH=PO=，

∵PA⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AP⊥PB，∴PB=2，PE=，

∴AE=，…（11分）

∴sin∠EAH===

所以直线AE与底面ABC所成角的正弦值为．…（12分）

解：（1）取CD中点M，连接AM与EM （1分）

∵△ACD是正三角形，

∴AM⊥CD．（2分）

∵DE⊥平面ACD，

∴DE⊥AM．（3分）

又CD∩DE=D，

∴AM⊥平面CDE．（4分）

所以∠AEM就是AE与平面CDE所成角 （5分）

根据题意可得：在△AME中，，

∴．（7分）

所以直线AE与平面CDE所成角的大小为．（8分）

（2）取AD中点N，同理（1）可证CN⊥平面ABED，且CN=．（10分）

由题意可得：．（14分）

（Ⅰ）证明：∵AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩⊥EF=E，

∴AM⊥面D′EF

∵D′F⊂面D′EF，

∴AM⊥D′F；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AM⊥面D′EF，AM⊂平面ABCM，

∴平面ABCM⊥面D′EF，

∴过D′作D′H⊥EF，则D′H⊥平面ABCM，

∴∠D′FH也就是∠D′FE是直线D‘F与平面ABCM所成角，由已知，∠D′FE=，

并且∠D′AH是所求的直线AD′与平面ABCM所成角．

∵∠D′EF=，且∠D′FE=

在三角形△D′EF中，∵∠D′EF=，且∠D′FE=

所以是等边三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，∴△DAF是等腰三角形．

设AD=2，∴AF=2，EF=，四棱锥D′-ABCM的高D′H=

由于直线AD′与平面ABCM所成角为∠D′AH，∴sin∠D′AH==

解：（Ⅰ）依题意，AD⊥平面CPD1，AD=DD1=2，

∴，

∴CP=1．

（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（1，2，0）、D1（0，2，2）

所以，

设平面APD1的一个法向量，则，

令x=2，得平面APD1的一个法向量为．  

所以，故直线AD与平面APD1所成角θ的正弦值为．

（Ⅲ）满足条件的点M位于线段A1B1中点或者B点．

证明：（Ⅰ）在△ABC中，由∠ACB=30°，得．

由D为AC的中点，得．∴△ABD为等边三角形

则BD⊥AE，BD⊥EF，

∴BD⊥面AEF，

又∵BD⊂面BCD，∴面AEF⊥面BCD．

同理面AEF⊥面BAD…

（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可得∠AEF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．

∵面AEF⊥面BCD，∴O在FE上，连BO交CD延长线于M，

当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，

∴O为翻折前的等边三角形△ABD的中心．

则，．

因此当时，AB⊥CD．…（7分）

（Ⅲ）过F作FG⊥AE交AE的延长线于G点，由（Ⅰ）面AEF⊥面BAD，则FG⊥面BAD

故∠FBG就是FA与平面BAD所成角

设AB=a，则；

而，

故

所以

即FB与平面BAD所成角的正弦值为…（12分）