热门试卷

（1）证明：取PD中点G，连接AG、FG，

因为EF分别为AB、PC的中点，

所以AE=AB，GF∥DC且GF=DC，

又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，

所以AE∥GF且AE=GF，

所以四边形AEFG是平行四边形，

所以AG∥EF且AG=EF

又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD．

所以EF∥平面PAD；

（2）解：∵AG∥EF，

∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角

过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA

∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，

∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，

∵∠PDA=45°，G为PD的中点

∴∠GAH=45°

即EF与平面ABCD所成的角为45°．

（1）证明：取D1C1的中点H，连接PH，AH．

∵PC1=PD1=，D1C1=1，P∈平面DCC1D1，

∴PH⊥D1C1，D1H=，

∴PH==1

∴PH∥D1D∥A1A，PH=A1A，

∴四边形PA1AH为平行四边形，

∴PA1∥AH，

又AH⊂平面ABC1D1，PA1⊄平面ABC1D1，

∴PA1∥平面ABC1D1；

同理PB1∥平面ABC1D1；

∵PA1∩PB1=P，

∴平面PA1B1∥平面ABC1D1；

（2）解：∵PA1∥AH，

∴直线PA1与平面ADD1A1所成角等于直线AH与平面ADD1A1所成角．

正方体ABCD-A1B1C1D1中，显然HD1⊥平面ADD1A1，

∴∠HAD1就是直线AH与平面ADD1A1所成角．

在Rt△HAD1中，D1H=，AD1=，

∴tan∠HAD1==，

∴直线PA1与平面ADD1A1所成角的正切值为．

（1）证明：由已知AB⊥CD，DE⊥CD，AB∩DE=E，

可得CD⊥平面ABD．

又△ABD中，AE=BE=DE，DE⊥AB，

∴AD=BD，AD⊥BD，

又AD为AC在平面ABD内的射影，

∴AC⊥BD；

（2）解：连结CE，作DH⊥CE于H，连结BH．

由AB⊥DE，AB⊥CD知，AB⊥平面CDE，

∴平面ABC⊥平面CDE，

又DH⊥CE，∴DH⊥平面ABC，

故BD与平面ABC所成的角为∠DBH．

∵Rt△CAD≌Rt△CBD，

∴AC=BC，

又∠ACB=60°，

∴△ABC为等边三角形．

记AB=a，则CE=a，DE=a，BD=a．

在Rt△CDE中，CD=a，∴DH==a，

故在Rt△BDH中，sin∠DBH=，

故BD与平面ABC所成的角为arcsin．

解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）

∴=（-2，0，2），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．

∴cos＜，＞═．

∴BC1与平面BB1D1D所成角为：30°

故答案为：30°．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．

∵AB⊥AD，AD∩PA=A AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD．∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．

∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB⊂平面ABM，

BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM．

∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD．

（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，

则M是PD的中点，作MN⊥AD，N为垂足，则N为AD的中点，

MN∥PA，MN=PA=1，AD⊥平面ABCD，

∠MBN为直线BM与平面ABCD所成的角．

Rt△MMB中，MN=1 BN===，∴BM==，

∴sin∠MBN===．

解：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则A（2，0，0），B（0，2，0）C（-2，0，0），S（0，0，2）

所以

设是平面SBC的一个法向量，易求得

设θ为AK与平面SBC所成的角，因为

所以：．

（Ⅰ）证明：四边形ABCD为菱形

所以：BD⊥AC

又面ACEF⊥面ABCD

所以：BD⊥平面ACFE

所以：BD⊥CH

即：CH⊥BD

又H为FG的中点，CG=CF=

所以：CH⊥FG

所以：CH⊥面BFD．

（Ⅱ）连接EG，由（Ⅰ）知BD⊥平面ACFE

所以：面EFG⊥面BED

所以：EF与平面EDB所成的角即为∠FEG．

在△FCG中，CG=CF=，CH=，CH⊥GF

所以∠GCF=120°，GF=3

所以EG=，又因为EF=2．

所以在△EFG中，可求得∠FEG=60°