热门试卷

解：如图，连接AM，过点P作PH垂直于AM于H，

正三棱锥P-ABC中，

            3分

又PH为平面PMA中的一条直线，

所以BC⊥PH

因为PH⊥AM且BC∩AM=M，

所以PH⊥平面ABC，5分

所以∠PMH为直线PM与平面ABC所成的角（或其补角）         6分

因为正三棱锥P-ABC底面ABC的边长为2，体积为V=1

所以由知，

，

所以，9分

Rt△PHM中，           11分

得∠PMH=arctan3，

故直线PM与平面ABC所成的角为arctan3（或或）               12分

（I）证明：由已知PA2+AB2=PB2，∴PA⊥AB

同理PA⊥AC，

又AB∩AC=A，

∴PA⊥面ABC；

（Ⅱ）解：在△ABC中，过B作BG⊥AC，垂足是G，连接PG，

∵PA⊥面ABC，PA⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥面ABC，

∵BG⊥AC，平面PAC∩面ABC=AC，

∴BG⊥平面PAC，

∴∠BPG是直线PB与平面PAC所成角．

在△ABC中，BC=2，AB=AC=，∴BG=，AG=，

∴PG=，

在△PBG中，cos∠BPG==，

∴直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．

（Ⅰ）证明：∵E、F分别为SC、SD的中点，

∴EF是△SCD的边CD的中位线

∴EF∥CD

∵四边形ABCD为矩形

∴CD∥AB，∴EF∥AB

∵AB⊂平面SAB，EF⊄平面SAB

∴EF∥平面SAB

（Ⅱ）证明：∵SA=AD，F为SD的中点，

∴SD⊥AF

∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥SA

∵AB⊥AD，SA，AD是平面SAD内的两条相交直线

∴AB⊥平面SAD

∵SD⊂平面SAD，∴SD⊥AB

∵EF∥AB

∴SD⊥EF

∵AF、EF是平面AEF内的两条相交直线

∴SD⊥平面AEF

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）AB⊥平面SAD，∴AF是BF在平面SAD上的射影

∴∠AFB是直线BF与平面SAD所成的角

在直角三角形AFB中，

∴∠AFB=60°

解：（1）∵正方体中BC⊥平面AA1B1B，AE⊂平面AA1B1B，∴AE⊥BC

（2）连接EB，∠CEB为CE与平面AA1B1B所成的角，

∵BC=1，BE=，∴tan∠CEB=

即CE与平面AA1B1B所成角大小为arctan

解：（Ⅰ）取CF的中点O，连接OM，则

∵AB∥CD，CDEF是正方形，M是DE的中点，

∴OM∥NB，OM=NB，

∴OMNB是平行四边形，

∴MN∥OB，

∵MN⊄平面FCB，OB⊂平面FCB，

∴MN∥平面FCB；

（Ⅱ）连接CN，则ADCN是平行四边形，

∴AD∥CN，

∴∠MNC就是直线MN与直线AD所成角，

∵ED⊥平面ABCD，

∴∠MND是直线MN与平面ABCD所成角，

设DM=x，则

∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，∠DAB=，

∴AD=，

∴DN==，

∴MN=

∴cos∠MND=，

∵MN=，CN=，CM=，

∴cos∠MNC==0，

∴∠MNC=90°，

∵直线MN与直线AD所成角等于直线MN与平面ABCD所成角的2倍，

∴∠MND=45°，

∴cos∠MND==，

∴x=，即DM=．

解：（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；

∵；

∴C（2，2，0）；

∴；

∴cos=；

∴直线PC与BD所成角的余弦值为；

（2），设平面PCD的法向量为，则：，且；

∴；

∴；

∴，取z=1，则；

又；

设直线PB和平面PCD所成角为θ，则：

sinθ=|cos＜＞|=；

∴直线PB平面PCD的所成角的正弦值为．