热门试卷

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．

∴，

∴cos==0，

∴=90°，

∴直线AD1与B1D所成角为90°；

（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则

∵，=（-1，2，0），

∴，

∴可取=（2，1，0），

∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=．

（1）证明：连结AC交BD于O，连接EO，

∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC．

∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD

∴PC∥平面EBD…（4分）

（2）证明：在正方形ABCD中，BC⊥CD，

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC

又DC∩PD=D，DC，PD⊂面PCD，

∴BC⊥平面PCD，BC⊂平面PBC

∴平面PBC⊥平面PCD．…（8分）

（3）解：取AD中点F，

∵E是PA的中点，∴EF∥PD

∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD

∴∠EBF是直线BE与平面ABCD所成角．

设PD=2，则

∵EF=PD，PD=AD，∴EF=1，BF=，

∴tan∠EBF===，即BE与平面ABCD所成角的正切值为．…（12分）

（Ⅰ）证明：取DC中点E，连接ME、BE、DB

∵M是PC的中点，EM是三角形PDC中位线

∴EM∥PD

∵EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD

∴EM∥平面PAD．

在△ADB中，AD=2，，∠BAD=135°，根据余弦定理得出BD=

∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，，，∴BC=

∴△DBC是等腰三角形，∴BE⊥DC

∵AD⊥DC，∴AD∥BE

∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD

∴BE∥面PAD

又∵BE∩EM=E且BE，EM⊂平面BEM

∴平面BEM∥平面PAD

∵BM⊂平面BEM，

∴BM∥平面PAD；

（2）解：取AD中点F，连接PF，PE，过F做DC的平行线交BE于点H，则AD⊥平面PFH

∵AD∥BE，∴BE⊥平面PFH

∵PH⊂平面PFH，∴PH⊥BE

∵PE⊥CD，BE⊥CD，PE∩BE=E

∴CD⊥平面PBE

∵PH⊂平面PBE

∴CD⊥PH

∵BE∩CD=E

∴PH⊥面ABCD

∴∠PBH就是直线PB与平面ABCD所成的平面角

∵BE=，EH=1，∴BH=2

∵PH==

∴tan∠PBH==

即直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．

（1）证明：取AC的中点E，并连接DE、BE，如图所示，

因为D是PA中点，E是AC的中点，所以DE∥PC，

又∠PCA=90°，即PC⊥AC，所以DE⊥AC，

且正三角形ABC中，BE⊥AC，

所以AC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE，

所以AC⊥BD．

（2）解：在平面BDE中作EF⊥BE，交BD于F，且EF⊥AC，BE∩AC=E，

所以EF⊥平面ABC，则∠FBE即∠DBE为BD与平面ABC所成角，

其中DE=2×=1，BE=2sin60°=3，

由AC⊥平面BDE知，∠BED为二面角P-AC-B的平面角，即∠BED=120°，

由余弦定理得，BD2=1+9-2×1×3cos120°=13，即BD=，

所以cos∠DBE==，

所以∠DBE=arccos．

即BD与平面ABC所成角为arccos．

（3）解：因为D为PA的中点，所以P到平面ABC的距离h=2DG=，

所以VP-ABC=h==3．

（Ⅰ）证明：由已知条件可得：∠AEB=30°，∠DEC=60°，

∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC

又∵平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD，

∴SE⊥面BEC，

∵BE⊂平面SBE，

∴BE⊥平面SEC；

（Ⅱ）解：如图分别以EB、EC、ES所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则，S（0，0，1），B（2，0，0），

设平面SBC的法向量，则有：，

设直线CE与平面SBC所成角为θ，有．