热门试卷

解：（Ⅰ）①由已知得，∠B=∠C=30°，．

在△ABD中，由BD=1，得AD==1，（3分）

在△ACD中，∵AC2+AD2=4=CD2，∴AC⊥AD．

平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD．（5分）

②∵AC⊥平面ABD，∴VC-ABD==．（8分）

（Ⅱ）由BD=1，得CD=2，

在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则AE=．

在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，

∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，

∵AH⊂平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，

∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角．（11分）

在Rt△ACE中，得，=，

∴，即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为．（14分）

（1）证明：∵点M，N分别是CE，DE的中点．

∴MN∥CD，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，

∴MN∥AB，

∵MN⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，

∴MN∥平面ABE；

（2）解：∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，

又BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，

∵AE=BE=4，∴AB=4，

在△ABE内，过E作AB的垂线EH，垂足为H，则EH=2，

∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥EH，

∴EH⊥平面ABCD，

设D到平面BCE的距离为d，射影为K，则由体积相等，得

VD-BCE=VE-BCD，即有d•S△BCE=•EH•S△BCD，

d•12=2•12，则d=4．

∵AD∥BC，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE，

∴ED=5，

∵∠DEK为DE与面BCE所成角，

EK==3，

∴DE与面BCE所成角的余弦为．

解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，

即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，

设F为AB的中点，连结EF、FC，

∵D，E分别是CC1与A1B的中点，

又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形，连接DE，G是ADB的重心，

∴GE=DF，

在直角三角形EFD中，，

∵EF=1，∴，

于是，

∵，

∴AB=，，

∴，

∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为；

（Ⅱ）连结A1D，有，

∵ED⊥AB，ED⊥EF，

又EF∩AB=F，

∴ED⊥平面A1AB，

设A1到平面AED的距离为h，则，

又．

，

∴，即A1到平面AED的距离．

解：设此棱柱的高AA1=2，则AB=2k，如图建立空间直角坐标系：

则P（0，0，2），O（0，0，0），B（k，k，0），C（-k，k，0），A1（k，-k，2），A（k，-k，0），

E（k，0，0）

∴=（-2k，0，0），=（k，k，-2），=（0，k，-2），=（k，-k，-2）

（1）取BC中点F（0，k，0）

则=（0，k，-2）

∴

∴A1E∥PF，PF⊂面PBC，A1E⊄面PBC

∴A1E∥平面PBC

（2）当时，∴=（-2，0，0），=（，，-2），

=（，-，-2）

设平面PBC的法向量为=（x，y，z）

则

∴取=（0，，1）

∴cos＜，＞===-=-

设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ=

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

（3）设△PBC的重心坐标为M（x，y，z），则

x==0，y==，z==

∴M（0，，）

∴=（0，，）

且=0，即OM⊥BC

若OM⊥平面PBC，

则=×k+=0

解得k=

∴k=时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心

（1）证明：∵D、E分别是AC、BC的中点，

∴DE∥AB，

∵AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

∴AB∥平面DEF，

同理SA∥平面DEF，

∵AB∩SA=A，

∴平面SAB∥平面DEF，

；

（2）解：∵SG=，S在面ABC内的射影O在CG上，且GO=

∴∠SGO 就是SG与平面ABC所成角，

∴cos∠SGO=．