热门试卷

试题分析：由题意知，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，从而得出，进而求出向量，再求出平面的法向量，易求得：，最后可得：

，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，则

所以

设是平面的一个法向量，易求得

设为与平面所成的角，因为

所以： 

在平面ADC内作AH⊥BC，H是垂足，连HD．因为平面ABC⊥平面BDC．所以AH⊥平面BDC．HD是AD在平面BDC的射影．依题设条件可证得HD⊥BC，由三垂线定理得AD⊥BC，即异面直线AD和BC形成的角为90°．

在平面BDC内作HR⊥BD，R是垂足，连AR．HR是AR在平面BDC的射影，∴AR⊥BD，∠ARH是二面角A－BD－C的平面角的补角，设AB=a，可得，

，，

∴．

∴二面角A－BD－C的大小为π－arctg2．

（1）略 （2）略 （3）

(I)关键证明：B1F//AD.

(2)证明：AB平面CDF.

(3) 过点D作DH垂直CF于点H，则DH平面ABC.连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角,是解题的关键。

（1）证明: 如图所示，在正三棱柱中, D是的中点，点F是AB的中点，所以,且，所以四边形是平行四边形，所以, AD在平面ADE内,不在平面ADE内, 故.              （4分）

（2）证明:如图所示，F是AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知，      ,又CDDF=D，所以AB平面CDF，而AB∥AB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。

（3）解: 过点D作DH垂直CF于点H，则DH平面ABC.连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨设

A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD==，DH==—，所以 sinHAD==。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。