热门试卷

直线与平面所成角的大小为

法一： 由题意，可得体积，

．连接． ，

平面，

是直线与平面所成的角．

，，

则 ＝．即直线与平面所成角的大小为．

法二： 由题意，可得

体积，

，

如图，建立空间直角坐标系． 得点，

，． 则，

平面的法向量为．

设直线与平面所成的角为，与的夹角为，      

则，  ，

即直线与平面所成角的大小为．  

（1）过P作PH⊥BC于足H，连DH，

∵面BC′⊥面AC，则PH⊥面ABCD，

∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP．

在正方形BCC′B′，M，N分别为BB′，B′C′中点，P为MN中点，

又B′C′=1，则PH=，BH=，CH=，

DH===

在Rt△PHD中，tan∠HDP==(6分)

（2）建立如图空间直角坐标系

A(0，0，1)，C′(1，1，0)，则=(1，1，-1)，

D(0，1，1)，P(1，，)．

则=(1，-，-)

设和夹角为θ

cosθ==θ=arccos=arccos(12分)

（Ⅰ）为的四等分点；（Ⅱ） .

试题分析：（Ⅰ）用向量法的解题步骤是建立恰当的空间直角坐标系，写出相应的点的坐标及向量的坐标，利用向量的数量积为0，则这两个向量垂直，得出结论；（Ⅱ）二面角的问题，找到两个平面的法向量的夹角，利用向量的夹角公式求解.

试题解析：方法一：

(Ⅰ)如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

易得       2分

由题意得,设

又

则由得，

∴,得为的四等分点.         6分

(Ⅱ)易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为

则,得，取，得，      10分

∴，∴二面角的平面角余弦值为.12分

方法二：

（Ⅰ）∵在平面内的射影为，且四边形为正方形，为中点， ∴

同理，在平面内的射影为，则

由△～△， ∴,得为的四等分点.        6分

（Ⅱ）∵平面,过点作，垂足为；

连结，则为二面角的平面角；          8分

由，得,解得

∴在中，,

∴；∴二面角的平面角余弦值为.  12分

（I）如图建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），

B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2）．

，，

设平面的法向量是，

∴，取，得，           …………（4分）

（II）假设存在，使得，则，

∴，∵，∴

∴当是线段的中点时，异面直线与所成角余弦值等．

略

（1）.（2）在线段上存在一点满足条件，且长度为.

由题意得射线 AB、AD、AP两两垂直，可以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助于向量求解。（1）要注意异面直线与所成角的余弦值非负；（2）设存在点，，由点到平面的距离恰为，可得根据两点间的距离公式得

（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

(1) 证明略，(2)证明略(3)

 (1)证明: ∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，

∴C1D1⊥A1B1于D1，

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，

∴C1D1⊥平面A1B1BA，

而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1 

(2)证明:连结D1D，

∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，

由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，

由三垂线定理得BD1⊥AB1，

又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD 

(3)解 由(2)AB1⊥平面A1CD于O，

连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，

∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=，

∴∠OCA=.

（I）同解析（II）直线与平面所成的角的大小为.

（I）由，―――――――――――（2分）

得.　―――――――――――――――――――－（5分）

（II）平面的法向量为，　――――――――――――――（8分）

，　―――――――――――――――――――――――――――（10分）

于是，　――――――――――――――――――――――（11分）

于是直线与平面所成的角的大小为.　――――――――－（12分