热门试卷

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）60°

（I）连结DF，DC　∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，

　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC

　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C                                             3＇

　　∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，

　　在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，

　　＝B1F2＋＝5a2，　∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1

FC1⊥EF                                                               

　　（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角                                    

　　在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，

　　∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上                                

　　故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。

解：（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

略

（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，由，有面,从而得到线线垂直；（Ⅱ）作，垂足为，则面，连接，得到直线与平面所成的角为,求得.

试题解析：

（Ⅰ）证明面面 又 面

（Ⅱ）解：作，垂足为，则面，

连接

设，则，设

由题意

则

解得

由（Ⅰ）知面

直线与平面所成的角的正弦值，.

（1）详见解析；（2）求直线与面所成角的正弦值为.

试题分析：（1）利用折叠前以及、在同一平面内，得到在折叠后，由已知条件，结合直线与平面垂直的判定定理可以证明平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）解法一是利用空间向量法，即以点为坐标原点，、分别为轴、轴建立空间坐标系，将二面角为进行适当转化，再利用空间向量法求出直线与面所成角的正弦值；解法二是利用到（1）中的结论平面，只需作交于点，于是确定直线与面所成角为，借助点为的中点从而得到为中位线，于是确定点为的中点，连接，在直角三角形中计算出.

试题解析：（1）证明：DEAE，CEAE，，

 AE平面，   3分

 AE平面，平面平面．  5分

（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系  6分

DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，  7分

，，，

A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．  9分

、分别是、的中点，F，G   10分

=，=，  11分

由（1）知是平面的法向量，    12分

设直线与面所成角，则，

故求直线与面所成角的正弦值为．   14分（列式1分，计算1分）

（方法二）作，与相交于，连接  6分

由（1）知AE平面，所以平面，是直线与平面所成角  7分

是的中点，是的中位线，，  8分

因为DEAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即= 9分

在中，由余弦定理得，

（或）  11分（列式1分，计算1分）

平面，所以，在中，   13分

所以直线与面所成角的正弦值为  14分

（Ⅰ）45°

（Ⅱ）30°

:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.

则.

连结.在平面中,延长DP交于H.

设,由已知,

由

可得.解得.

所以.

(I)因为,

所以.

即DP与所成的角为.

(II)平面的一个法向量是.

因为,

所以.

可得DP与平面所成的角为.

（1）（2）

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目.

知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90°.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

∴BD1与AC所成角的余弦值为

取DD1的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BF∥AG，

则∠GAE是异面直线AE与BF所成的角．连GF，设正方体棱长为a，

，．

在△AEG中，由余弦定理得

∴．