热门试卷

证明如下：

取的中点连结，则

，，    

取的中点，连结，

∵且，

∴△是正三角形，∴．

∴四边形为矩形，∴．又∵，

∴且，四边形是平行四边形．

∴，而平面，平面，∴平面6分

（或可以证明面面平行）

（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，

∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．  10分

设，则，，

∴，

∴．  

           1２分

（法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，

建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．

设，由已知，得，，．

∴，，…………………8分

设平面的法向量为，

则且，

∴∴解之得

取，得平面的一个法向量为.        

又∵平面的一个法向量为．

．

     1２分

略

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）平面平面，

．在中，，

，，又，

，，即．

又，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．

是在面内的射影．

由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

过作交于点，

则，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

，．

点坐标为．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，

设平面的法向量为，则．

，

如图，可取，则，

，

即二面角为．

AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°

 如图所示，在线段BD上取一点G，使=.连接GF、GE、EF.

===，GE∥AB，且GE=AB=2，

同理，GF∥CD，且GF=CD=1，

在△EGF中，cos∠EGF==-,

∴∠EGF=120°.

由GF∥CD,GE∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°.

（1）；（2）.

试题分析：（1）由得到，借助异面直线与所成的角等于，进而说明为等边三角形，得出的长度后再利用勾股定理求出的长，从而得到棱柱的高；（2）连接交于点，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，然后连接，于是得到即为直线与平面所成的角，最终在中计算相应的边长来求出的大小.

（1），

又，为正三角形，，

所以棱柱的高为；

（2）连接，，

，，平面，

即为所求，

在中，，，.

（1）几何体的体积为；（2）详见试题解析；（3）二面角的大小为．

试题分析：（1）将几何体补成如图的直四棱柱，利用计算几何体的体积；（2）详见试题解析；（3）取的中点，因为分别为的中点，所以∥，以分别为轴建立坐标系，利用法向量求二面角的大小．

试题解析：（1）将几何体补成如图的直四棱柱，则        3分

（2）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以．因为、都垂直于面,，又面∥面，所以四边形为平行四边形，则，因为、、都垂直于面,则，所以，所以为等腰直角三角形．           7分

（3）取的中点，因为分别为的中点，所以∥，以分别为轴建立坐标系，则，所以．平面为的中点，平面．由知二面角的大小为．二面角的大小为．

12分

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为；

（Ⅲ）异面直线与所成角的余弦值为 。

本试题主要是考查了线线的垂直和二面角的求解，以及异面直线的所成的角的求解的综合运用。

（1）先根据线面垂直的性质定理得到线线垂直的判定。

（2）要求解二面角的平面角可以运用三垂线定理作出角，或者利用空间向量表示的二面角平面角。

（3）对于异面直线的所成的角，可以通过平移法得到结论。

（Ⅰ）分别取、的中点、，连结、．

∵是正三角形，∴．

∵面⊥面，且面面，

∴平面．∵是的中位线，且平面，∴平面．

以点为原点，所在直线为轴，所   

在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，

，， ，．

∴，．            ……………………2分

∴．

∴，即 ．                      …………………5分

（Ⅱ）∵平面，    ∴平面的法向量为．            

设平面的法向量为，∴，．

∴，即 ．

，即 ．

∴令，则，．    ∴．               

 ．

平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为         …………………10分

（Ⅲ）∵，，

∴．

∴异面直线与所成角的余弦值为                 …………………14

(Ⅰ)异面直线与所成角为；(Ⅱ)二面角的正切值为。

(I)连接B1C，则易证B­1C//A1D,所以就是异面与所成角,然后解三角形求此角即可.

(II)连接BD交AC于O点，则易证就是二面角的平面角，然后再直角三角形B1BO中求此角即可.

(Ⅰ)在正方体中, --------------------1

∴A1B1CD为平行四边形,∴,--------------------------- 2

所以∠ACB1或其补角即异面直线与所成角………………3

设正方形边长为

在中,AC=B1A=B1C=,………………………….5

∴∠ACB1=

所以异面直线与所成角为……………………………..6

(Ⅱ)连结BD交AC于O,连结B1O,…………………………………….7

∵O为AC中点, B1A=B1C,BA=BC

∴B1O⊥AC,BO⊥AC………………………………….9

∴∠B1OB为二面角的平面角.---------------------------10

在中, B1B=,BO=--------------------12

∴∠B1OB=

故二面角的正切值为---------------------13.