热门试卷

（Ⅰ）（Ⅱ）

本试题主要是考查了线面角的大小的求解和二面角平面角的大小的求解的综合运用。

（1）因为利用空间直角坐标系，建立后表示点的坐标得到向量的坐标，从而利用平面的法向量和直线的方向向量来表示线面角的求解。

（2）同上结合平面的法向量来表示二面角的平面角的大小，从而得到向量的夹角相等或者互补。

解：（Ⅰ）如图建系，

S(0,0,2), C(2,2,0), D(1,0,0),

，故平面ASD的一个法向量为……………3分

设SC与平面ASD所成的角为则

故，即SC与平面ASD所成的角余弦为…………………6分

（Ⅱ）平面SAB的一个法向量为

设平面SCD的一个法向量为

由令z=1可得平面SCD的一个法向量为

显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为则

即平面SAB和平面SCD所成角的余弦………………12分

试题分析：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值；（2）分别求出平面的法向量与的法向量，利用法向量能求出平面与所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面与所成二面角的正弦值．

试题解析：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系,

则,,,,,．

,

异面直线与所成角的余弦值为．

（2） 是平面的的一个法向量，设平面的法向量为,

，，

由，得 ，取,得，,

所以平面的法向量为．

设平面与所成二面角为 ．

, 得．

所以平面与所成二面角的正弦值为．

（1）连接OC。由已知，所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=,AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan…………………6分

（2）过D作DE于E，连接CE.       

由已知可得，CD平面PAB.

根据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故……………………………12分

[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

（1）略

（2）二面角A－PB－D的大小为60°.

（Ⅰ）证明:,

.……2分

又,……4分

∴  PD⊥面ABCD………6分

（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

∵PD⊥面ABCD, ∴,

又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

∴AO⊥PB,

∵,

∴,从而,

故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………8分

∵ PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,

∴在Rt△PDB中, ,

又∵,   ∴,………………10分

 ∴ .

故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………12分

（也可用向量解）

（2）tanBAD=

(1)证明：连结DH，∵C′H⊥平面ABD，∴∠C′DH为C′D与平面ABD所成

的角且平面C′HA⊥平面ABD，过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面C′HA.

故∠DC′E为C′D与平面C′HA所成的角

∵sinDC′E=≤=sinDC′H

∴∠DC′E≤∠DC′H,

∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE=90°

(2)解：作HG⊥AD，垂足为G，连结C′G,

则C′G⊥AD，故∠C′GH是二面角C′—AD—H的平面角

即∠C′GH=60°，计算得tanBAD=

60°

试题分析：因为在直三棱柱中，，．若为的中点，需求直线与平面所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面的法向量与直线所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.

试题解析：方法一：如图1以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建系，则，则            2分；

设平面A1BC1的一个法向量，则，

则，取，则                   6分

设AD与平面A1BC1所成的角为，

则=                               10分

则,∴AD与平面A1BC1所成的角为             12分

方法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．

由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．

又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1．

从而得 AB1⊥平面A1BC1．                                                4分

设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．

知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，

于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角．                                      6分

在直角△AOG中，AG＝AD＝AB1＝AB， AO＝AB，

所以sin∠AGO＝＝．                                           10分

故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°．                       12分