热门试卷

(I)   （2）

略       

如图，延长，交于，连接，则为平面与平面的交线．

平行且等于，．

在中，，，

所以，．

平面．

可证，则为二面角的平面角．

又，

则平面与平面所成锐二面角的大小为

（1）祥见解析；(2)．

试题分析：由已知四边形是正方形，知其两条对角线互相垂直平分，且，又因为平面平面，平面，故可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；又因为正方形ACDE的边长为2，且三角形ABC是以角C为直角的直角三角形，从而就可以写出点A，B，C，E及点M的空间直角坐标；则（1）求出向量的坐标，从而可证，这样就可证明直线AM与平面EBC内的两条相交直线垂直，故得直线AM与平面EBC垂直；(2)由（1）知是平面EBC的一个法向量，其坐标已求，再设平面EAB的一个法向量为，则由且，可求得平面EAB的一个法向量；从而可求出所求二面角的两个面的法向量夹角的余弦值，由图可知所求二面角为锐二面角，故二面角的余弦值等于两个面的法向量夹角余弦值的绝对值，从而就可求得所求二面角的大小．另本题也可用几何方法求解证明．

试题解析：∵四边形是正方形 ， ，

∵平面平面，平面，           

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，    

分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，

是正方形的对角线的交点，．

(1) ，，，

，    

平面．        

(2) 设平面的法向量为，则且，

且．

     即      

取，则， 则．

又∵为平面的一个法向量，且，

，

设二面角的平面角为，则，

∴二面角等于．

（1） ，（2）均可用几何法

(1)平行

(2)

(3) 所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE

如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

   又AB平面DEF，EF平面DEF.  ∴AB∥平面DEF.   

（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则即，

（Ⅲ）设

又      

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE 。

（Ⅰ）点M为BC边的中点  

（Ⅱ）∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为

（Ⅲ）二面角M—AC1—C的大小为45°

本试题主要考查了立体几何中，空间点线面的位置关系的运用。第一问中，利用△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M

又因为CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM。所以点M为BC边的中点

二问中，利用作辅助线，表示，即为所求

三问中，过点C作CI⊥AC1于I，连HI，∵CH⊥平面C1AM，作出二面角的大小，然后借助于定义法得到结论。

（Ⅰ）∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M

∵三棱柱ABC—A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM。

∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点         --------------------4分

（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，由（Ⅰ）知AM⊥C1M且AM⊥CM，

∴AM⊥平面C1CM        ∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，

∴CH⊥平面C1AM

由（Ⅰ）知，AM=CM=,CM=

∴∴

∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为-------------------8分

（Ⅲ）过点C作CI⊥AC1于I，连HI，∵CH⊥平面C1AM，

HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角

∴HI为CI在平面C1AM内的射影，

∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角，在直角三角形ACC1中     ，

∴∠CIH=45°，        ∴二面角M—AC1—C的大小为45°

（1）证明：

故

（2）解：在面ABCD内作过F作

      又，， 

又，故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH。

在直角三角形FBH中，，

故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，等于。

略