热门试卷

（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，

∴CD⊥平面PAD，

∵PA⊂平面PAD，

∴CD⊥PA，

∵∠APD=90°，

∴PA⊥PD，

∵PD∩CD=D，

∴PA⊥平面PCD，

∵PC⊂平面PCD，

∴PA⊥PC；

（Ⅱ）解：过点P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABD，PF=1，

∴VP-ABD==；

（Ⅲ）解：由题意，设球心到平面ABCD的距离为h，R==，h=0

∴球的半径OD==，

∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为20π．

①解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，

所以BO∥CD

又BC∥AD，

所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，

而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．

②证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，

所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，

且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，

所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，

所以：平面PAB⊥平面PCD；

③解：过P作PE⊥AD，

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PE⊥底面ABCD，

∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD，

∴PA=2

∴PE=

∵AB=，∠BAD=90°

∴P-ABCD的体积为=．

（本小题满分14分）

证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．       

因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，

所以AD⊥平面BCC1B1．                                  …（5分）

因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．                   …（7分）

（2）（证法一） 

连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．

因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．                     …（11分）

因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．                                 …（14分）

（证法二） 

取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1BD．

所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．

因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，

所以D1B∥平面ADC1．

同理可证A1D1∥平面ADC1．

因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，

所以平面A1BD1∥平面ADC1．                          …（11分）

因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1．           …（14分）

证明：（I）由三视图可知三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，连接A1C，设A1C∩AC1=O．连接MO，由题意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以MO∥B1C．

∵MO⊂平面AC1M，B1C⊄平面AC1M

∴B1C∥平面AC1M；

（II）∵A1C1=B1C1，点M是A1B1的中点

∴C1M⊥A1B1，

∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，

∴C1M⊥平面AA1B1B

∵C1M⊂平面AC1M

∴平面AC1M⊥平面AA1B1B．

解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形

∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）

又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE

∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）

（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，

过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，------------（5分）

∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1

又∵，

∴MM1=NN1--------------------------------（7分）

∴四边形MNN1M1为平行四边形，----------------------（8分）

∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）

[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则，∴NG∥CF-------------（6分）

又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）

同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）

∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]

（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点

A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------（11分）

在△AEN中，∵

由余弦定理得AN2=AE2+EN2-2AE•ENcos135°，------（13分）

∴，

即．-----------------------（14分）

证明：（1）取AB中点D，连接DE，DF，

∵D、F分别为AB、BC的中点，∴DF∥AC，且DF=AC，

∵E为A1C1中点，∴EC1∥AC，且EC1=AC，

∴DF∥EC1，且DF=EC1，

∴DFC1E为平行四边形，∴C1F∥ED，

又∵ED⊂面ABE，C1F⊄面ABE，

∴C1F∥面ABE；    

（2）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，

∴CC1⊥面ABC，

∵AB⊂面ABC，∴AB⊥CC1，

又∵AB⊥BC，BC，CC1⊂面B1BCC1，BC∩CC1=C，

∴AB⊥面B1BCC1，

∵AB⊂面ABE，∴面ABE⊥面B1BCC1．

（1）证明：取B1D1的中点E，连接C1E，OA，则A，O，C共线，且C1E=OA，--（1分）

∵BCD-B1C1D1为三棱柱，

∴平面BCD∥平面B1C1D1，

故C1E∥OA，----（3分）

∴C1EAO为平行四边形，

从而C1O∥EA．-----------（5分）

又∵C1O⊄平面AB1D1，EA⊂平面AB1D1，

∴C1O∥平面AB1D1．----------（7分）

（2）证明：∵∠ABC=120°，AB=2，AD=4，

∴，

∴AD2=16=AD2+BD2，∠ABD=，

即BD⊥AD，----------（10分）

又BB1⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，BB1⊥BD，

在三棱柱BCD-B1C1D1中，BB1∥DD1，则BD⊥DD1，

而DD1∩AD=D，

∴BD⊥平面ADD1，-------（12分）

又BD∥B1D1，得B1D1⊥平面ADD1，

而B1D1⊂平面AB1D1，

∴平面AB1D1⊥平面ADD1．--------（14分）

证明：（1）连接BD，

由E、F分别是SB、SD的中点，

可得FE∥BD，

EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

则有EF∥平面ABCD；

（2）设AC，BD交于O，连接OF，

由中位线定理，可得OF∥SB，

OF⊂平面FAC，SB⊄平面FAC，

即有SB∥平面FAC；

（3）在正方形ABCD中，AC⊥BD，

SD⊥平面ABCD，即有SD⊥AC，

则AC⊥平面SBD，

即有AC⊥SB；

（4）SD⊥平面ABCD，即有SD⊥BC，

又BC⊥CD，

即有BC⊥平面SCD，

BC⊂平面SBC，即有平面SDC⊥平面SBC．

（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．

由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．

又AB=4，所以BD⊥AD．

又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面ADE．　　　　　　　　　…（5分）

（II）解：建立空间直角坐标系D-xyz，

则D（0，0，0），，，，，，．

设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则

令x=1，则=（1，1，-1）．

设直线BE与平面CDE所成的角为α，

则sinα=

所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．　　　　　　…（10分）

（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．

则．

设=（x‘，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则

令x'=1，则=（1，0，-）．

若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．

所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）