热门试卷

解：（1）证明：如图，

∵点G是DC中点，AB=CD=2EF，AB∥EF，

∴EF∥DG且EF=DG，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∴FG∥DE

又FG⊄面AED，ED⊂面AED，

∴FG∥面AED．

（2）证明：如图，

∵平面ABFE⊥平面ABCD，AD⊥AB，

∴AD⊥平面BAF．

又∵AD⊂面DAF，

∴面DAF⊥面BAF；

（3）解：S△AEF=•AE•EF=

∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∠EAB=90°，EA⊂平面ABFE

所以EA⊥平面ABCD，∵EF∥AB，又∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，

F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，

∴VD-AFC=VF-ADC=•S△ADC•EA=×=．

（1）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN

则有EN∥CD∥AM，且EN=CD=AB=MA．

∴四边形AMNE是平行四边形．

∴MN∥AE．

∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD；

（2）证明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD⊂矩形ABCD所在的平面，

∴PA⊥CD，PA⊥AD，

∵CD⊥AD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

又∵AE⊂平面PAD，

∴CD⊥AE，

∵∠PDA=45°，E为PD中点

∴AE⊥PD，

 又∵PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，

∴MN⊥平面PCD，

又∵MN⊂平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD；                       

（3）解：∵MN∥AE，BC∥AD，

∴∠DAE为异面直线BC与MN所成的角，

∵AE⊥平面PCD

∴AE⊥DE，

又，∴∠DAE=45°，

∴异面直线BC与MN所成的角为45°．

（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接FG、BG，

∵F，G分别是AD，AC的中点 

∴FG∥CD，且FG=DC=1．

∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等

∴EF∥BG．      

EF⊄面ABC，BG⊂面ABC

∴EF∥面ABC；

（Ⅱ）证明：∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC

又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC，

∴DC⊥BG

∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，

∴BG⊥面ADC．                          

∵EF∥BG

∴EF⊥面ADC

∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC；

（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，，0），E（1，0，1），B（1，0，0），C（0，-，0）

∴=（1，-，1），=（-1，-，0），=（0，0，1）

设平面BCDE的法向量为=（x，y，z），则，故取=（1，-2，0）

∴直线AE和平面BCDE所成角的正弦值为||=．

解：（1）取AD中点M，连接MG、MC

∵MG是△ADE的中位线，∴MGDE

又∵平行四边形BCDE中，CHDE，

∴MG=CH，可得四边形CMGH为平行四边形，可得GH∥MC

又∵MC⊂平面ACD，GH⊄平面ACD，

∴GH∥平面ACD   …（6分）

（2）∵AB是圆的直径，∴CB⊥AC

又∵DC⊥平面ABC，CB⊂平面ABC，∴DC⊥CB，

∵AC、CD是平面ACD内的直线，∴CB⊥平面ACD，

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，

又∵DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE   …（12分）

证明：（Ⅰ）连接BD，由于四边形ABCD为平行四边形，

则BD交AC于AC的中点O，

在△DBP中，O为BD的中点，M为DP的中点，所以OM∥PB．（2分）

又OM⊂平面ACM，PB在平面ACM外，

所以PB∥平面ACM（5分）

（Ⅱ）在△ACD中，∠ADC=45°，，

由余弦定理得，cos∠ADC==，

可得AC=AD，即∠ACD=45°，所以AD⊥AC．（7分）

因为，PO⊥平面ABCD，所以，PO⊥AD，（8分）

又PO∩AC=O，所以，AD⊥平面PAC，（10分）

又AD⊂平面ADP，所以，平面ADP⊥平面PAC．（12分）

证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）

因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）

因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）

（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，

所以PA⊥平面BDE．…（12分）

因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）

（Ⅰ）证明：因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB∩平面ABCD=AB，G1E⊥AB，G1E⊂平面G1AB，

所以G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD、又AB⊥AD，

所以AD⊥平面G1AB、因为AD⊂平面G1ADG2，所以平面G1AB⊥平面G1ADG2、

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，G1E⊥平面ABCD、故可以E为原点，分别以直线EB，EF，EG1

为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），

由题设AB=12，BC=25，EG=8，则EB=6，EF=25，EG1=8，

相关各点的坐标分别是A（-6，0，0），D（-6，25，0），G1（0，0，8），B（6，0，0）．

所以，．

设是平面G1ADG2的一个法向量，

由得故可取．

过点G2作G2O⊥平面ABCD于点O，因为G2C=G2D，所以OC=OD，

于是点O在y轴上．

因为G1G2∥AD，所以G1G2∥EF，G2O=G1E=8．

设G2（0，m，8）（0＜m＜25），由172=82+（25-m）2，解得m=10，

所以．

设BG2和平面G1ADG2所成的角是θ，则．

故直线BG2与平面G1ADG2所成的角是．

证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA．因PB⊂平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因为MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD∥平面BPC．（6分）

（2）连接AC，设AC∩BD=E，取PD中点F，连接EF，MF．

因ABCD为正方形，所以E为BD中点．

因为F为PD中点，所以EFPB．因为AMPB，所以AMEF．

所以AEFM为平行四边形．所以MF∥AE．因为PB⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以PB⊥AE．所以MF⊥PB．

因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD．

所以MF⊥平面PBD．又MF⊂平面PMD．

所以平面PMD⊥平面PBD．（14分）

证明：令SA=SB=SC=a，

由∠ASB=∠BSC=60°，∠ASC=90°，

即有AB=BC=a，AC=a，

则△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，

取AB的中点O，连接SO，BO，

由SA=SB，可得SO⊥AC，

由SB=a，OB=SO=a，即有SO⊥OB，

由OB∩AC=O，

可得SO⊥平面ABC，

由SO⊂平面SAC，

则平面SAC⊥平面ABC．