- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；
（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．
正确答案
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM⊂平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD．
（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．
∵P是BC的中点，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．
又∵PN⊂平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．
（3）解：DE与平面ABC不垂直．
证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM=B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE．
∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．
∴DE与平面ABC不垂直．
解析
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM⊂平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD．
（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．
∵P是BC的中点，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．
又∵PN⊂平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．
（3）解：DE与平面ABC不垂直．
证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM=B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE．
∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．
∴DE与平面ABC不垂直．
（Ⅰ）求证：面AA1E⊥面BCD；
（Ⅱ）求直线A1B1与平面BCD所成的角．
正确答案
∴A1E⊥BC，A1A⊥BC，
∵A1E∩A1A=A1，
∴BC⊥面AA1E，
∵BC⊂面BCD，
∴可得面AA1E⊥面BCD；
（Ⅱ）解：面AFEA1∩面BCD=DF，过A作AO⊥DF于点O，则AO⊥面BCD于O，连接BO，
∴∠ABO等于直线A1B1与平面BCD所成的角，
∵AD=
∴DF=
∴AO=
∵AB=2，
∴∠ABO=30°，
∴直线A1B1与平面BCD所成的角为30°．
解析
∴A1E⊥BC，A1A⊥BC，
∵A1E∩A1A=A1，
∴BC⊥面AA1E，
∵BC⊂面BCD，
∴可得面AA1E⊥面BCD；
（Ⅱ）解：面AFEA1∩面BCD=DF，过A作AO⊥DF于点O，则AO⊥面BCD于O，连接BO，
∴∠ABO等于直线A1B1与平面BCD所成的角，
∵AD=
∴DF=
∴AO=
∵AB=2，
∴∠ABO=30°，
∴直线A1B1与平面BCD所成的角为30°．
（1）证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；
（2）证明：C1F∥平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥P-B1C1F的体积．
正确答案
解：（1）证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，∴
∴AB⊥BC． 由已知AB⊥BB1，∴AB⊥面BB1C1C，又∵AB⊂面ABE，故ABE⊥面BB1C1C．
（2）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，∴直线FM∥面ABE．
在矩形ACC1A1中，E、M都是中点，∴C1M∥AE，∴直线C1M∥面ABE，
又∵C1M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC1，故C1F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，
连接PO，则PO∥BB1，∴点P到面BB1C1C的距离等于点O到平面BB1C1C的距离．
过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB1C1C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 
解析
解：（1）证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，∴
∴AB⊥BC． 由已知AB⊥BB1，∴AB⊥面BB1C1C，又∵AB⊂面ABE，故ABE⊥面BB1C1C．
（2）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，∴直线FM∥面ABE．
在矩形ACC1A1中，E、M都是中点，∴C1M∥AE，∴直线C1M∥面ABE，
又∵C1M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC1，故C1F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，
连接PO，则PO∥BB1，∴点P到面BB1C1C的距离等于点O到平面BB1C1C的距离．
过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB1C1C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得
正确答案
证明：∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，
∴PA⊥BC
∵AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥面PAC
∵BC⊂面PBC
∴面PAC⊥面PBC．
解析
证明：∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，
∴PA⊥BC
∵AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥面PAC
∵BC⊂面PBC
∴面PAC⊥面PBC．
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD‘的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（ ）
①四边形BFD′E一定是平行四边形
②四边形BFD′E有可能是正方形
③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形
④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D．
正确答案
解析
①∵四边形BFD′E与面BCC′B′的交线为BF，与面ADD′A′的交线为D′E，且面BCC′B′∥面ADD′A′的交线为D′E，
∴BF∥D′E，
同理可证明出BE∥D′F，
∴四边形BFD′E一定是平行四边形，
故结论①正确．
②当F与C′重合，E与A点重合时，BF显然与EB不相等，不能是正方形，
当这不重合时，BF和BE不可能垂直，
综合可知，四边形BFD′E不可能是正方形
结论②错误．
③∵四边形BFD′E在底面ABCD的投影是四边形A′B′C′D′，
故一定是正方形，③结论正确．
④当E，F分别是AA′，CC′的中点时，
EF∥AC，AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
BB′⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∴BB′⊥EF，
∵BB′⊂面BDD′B′，BD⊂面BDD′B′，BD∩BB′=B，
∴EF⊥面BDD′B′，
∵EF⊂四边形BFD′E，平面BB′D⊂面BDD′B′，
∴面形BFD′E⊥面BDD′B′．
故结论④正确．
故选：B．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）当λ为何值时，点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心？
正确答案
（1）证明：连结BD，AC交于点O，
∵AB=AD，AC=AC，∠ADC=∠ABC=90°，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠BAD=120゜，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AD，∠BAD=120゜，
∴∠ABD=30°，
∴∠BOA=180°-30°-60°=90°，即AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）连结PO，由A向PO作垂线，垂足为E，
∵BO=OD，
∴△PBD的重心必在OP上，假设E为△PBD的重心，
则PA2=PG•PO=
AO=
∴PO2=（λa）2+
∴
解析
（1）证明：连结BD，AC交于点O，
∵AB=AD，AC=AC，∠ADC=∠ABC=90°，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠BAD=120゜，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AD，∠BAD=120゜，
∴∠ABD=30°，
∴∠BOA=180°-30°-60°=90°，即AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）连结PO，由A向PO作垂线，垂足为E，
∵BO=OD，
∴△PBD的重心必在OP上，假设E为△PBD的重心，
则PA2=PG•PO=
AO=
∴PO2=（λa）2+
∴
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．
正确答案
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．
又∵DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，
在Rt△ABC中，∵
∴
∵
解析
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．
又∵DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，
在Rt△ABC中，∵
∴
∵
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面ABCD．
正确答案
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB∥平面PCD． …（6分）
（2）如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，
在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，
又PA=PB=PC=PD，
故PO⊥AC，PO⊥BD，…（9分）
又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，…（12分）
又PO⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD． …（14分）
解析
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB∥平面PCD． …（6分）
（2）如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，
在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，
又PA=PB=PC=PD，
故PO⊥AC，PO⊥BD，…（9分）
又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，…（12分）
又PO⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD． …（14分）
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求证：平面DEF⊥平面PBC．
正确答案
解：（1）设AC与BD的交点为O，
根据三角形的中位线可知PC∥EO
EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（2）∵PD=DC，F分别是PC的中点
∴DF⊥PC
∵BC⊥面PDC，DF⊂面PDC
∴BC⊥DF而PC∩BC=C
∴DF⊥面PBC而DF⊂平面DEF
∴平面DEF⊥平面PBC．
解析
解：（1）设AC与BD的交点为O，
根据三角形的中位线可知PC∥EO
EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（2）∵PD=DC，F分别是PC的中点
∴DF⊥PC
∵BC⊥面PDC，DF⊂面PDC
∴BC⊥DF而PC∩BC=C
∴DF⊥面PBC而DF⊂平面DEF
∴平面DEF⊥平面PBC．
（I）求证：平面A′DE⊥平面BCD；
（II）求证：BF∥平面A′DE．
正确答案
∵∠ABC=120°，四边形ABCD是平形四边形，
∴∠A=60°，又∵AD=AE=2∴△A'DE和△ADE都是等边三角形．∵M是DE的中点，∴
由在∵△DMC中，MC2=42+12-2×4×1•cos60°，
∴
∴△A'MC是直角三角形，∴A'M⊥MC，又∵A'M⊥DE，MC∩DE=M，∴A'M⊥平面ABCD．
又∵A'M⊂平面A'DE∴平面A'DE⊥平面BCD．
（Ⅱ）选取DC的中点N，连接FN，NB．∵A'C=DC=4，F，N点分别是A'C，DC中点，∴FN∥A'D．
又∵N，E点分别是平行四边形ABCD的边 DC，AB的中点，∴BN∥DE．
又∵A'D∩DE=D，FN∩NB=N，∴平面A'DE∥平面FNB，∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A'DE．
解析
∵∠ABC=120°，四边形ABCD是平形四边形，
∴∠A=60°，又∵AD=AE=2∴△A'DE和△ADE都是等边三角形．∵M是DE的中点，∴
由在∵△DMC中，MC2=42+12-2×4×1•cos60°，
∴
∴△A'MC是直角三角形，∴A'M⊥MC，又∵A'M⊥DE，MC∩DE=M，∴A'M⊥平面ABCD．
又∵A'M⊂平面A'DE∴平面A'DE⊥平面BCD．
（Ⅱ）选取DC的中点N，连接FN，NB．∵A'C=DC=4，F，N点分别是A'C，DC中点，∴FN∥A'D．
又∵N，E点分别是平行四边形ABCD的边 DC，AB的中点，∴BN∥DE．
又∵A'D∩DE=D，FN∩NB=N，∴平面A'DE∥平面FNB，∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A'DE．
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