直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（Ⅰ）证明：PB⊥AC；

（Ⅱ）证明：平面PMB⊥平面PAD；

（Ⅲ）求点A到面PMB的距离．

正确答案

（Ⅰ）证明：如图，

连接AC，BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD⊥面ABCD，∴AC⊥PD，又PD∩BD=D，

∴AC⊥面PBD，而PB⊂面PBD，∴PB⊥AC；

（Ⅱ）证明：∵PD⊥面ABCD，BM⊂面ABCD，∴PD⊥BM，

又∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，且M为AD中点，

∴AD⊥BM，又AD∩PD=D，

∴BM⊥面PAD，又∵BM⊂面PBM，∴面PMB⊥面PAD；

（Ⅲ）解：设点A到面PMB的距离为h，对于三棱锥P-AMB，有VP-AMB=VA-BMP，

∴，∴．

即点A到面PBM的距离为．

解析

（Ⅰ）证明：如图，

连接AC，BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD⊥面ABCD，∴AC⊥PD，又PD∩BD=D，

∴AC⊥面PBD，而PB⊂面PBD，∴PB⊥AC；

（Ⅱ）证明：∵PD⊥面ABCD，BM⊂面ABCD，∴PD⊥BM，

又∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，且M为AD中点，

∴AD⊥BM，又AD∩PD=D，

∴BM⊥面PAD，又∵BM⊂面PBM，∴面PMB⊥面PAD；

（Ⅲ）解：设点A到面PMB的距离为h，对于三棱锥P-AMB，有VP-AMB=VA-BMP，

∴，∴．

即点A到面PBM的距离为．

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题型：简答题

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简答题

三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．

（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（Ⅱ）若PA=，PC=3，PB与底面ABC成60°角，求三棱锥P-ABC的体积．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，

∵AB⊥BC，PA∩AB=A

∴BC⊥平面PAB

∵BC⊂平面PBC

∴平面PAB⊥平面PBC；

（Ⅱ）解：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB与底面ABC成60°角，

∴∠PBA=60°

∵PA=，PC=3，

∴AB=，AC=

∴BC=1

∴三棱锥P-ABC的体积为=．

解析

（Ⅰ）证明：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，

∵AB⊥BC，PA∩AB=A

∴BC⊥平面PAB

∵BC⊂平面PBC

∴平面PAB⊥平面PBC；

（Ⅱ）解：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB与底面ABC成60°角，

∴∠PBA=60°

∵PA=，PC=3，

∴AB=，AC=

∴BC=1

∴三棱锥P-ABC的体积为=．

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题型：简答题

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简答题

下面一组图形为三棱锥P-ABC的底面与三个侧面．已知AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC．

（1）写出三棱锥P-ABC中的所有的线面垂直关系（不要求证明）；

（2）在三棱锥P-ABC中，求证：平面ABC⊥平面PAB．

正确答案

解：（1）如图，三棱锥P-ABC中，

PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A

∴PA⊥平面ABC，

BC⊥平面PAB．

（2）证明：∵PA⊥AB，PA⊥AC，

AB∩AC=A，

∴PA⊥平面ABC，

又∵PA⊂平面ABP

∴平面ABC⊥平面PAB

解析

解：（1）如图，三棱锥P-ABC中，

PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A

∴PA⊥平面ABC，

BC⊥平面PAB．

（2）证明：∵PA⊥AB，PA⊥AC，

AB∩AC=A，

∴PA⊥平面ABC，

又∵PA⊂平面ABP

∴平面ABC⊥平面PAB

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题型：简答题

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简答题

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AB=1BC=2，PD=，G、F分别为

AP、CD的中点．

（1）求证：AD⊥PC

（2）FG∥平面BCP

（3）线段AD上是否存在一点R，使得平面BFR⊥平面PCB，若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）证明：∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD

∵PD⊥底面ABCD，AD⊂哦ing面ABCD，

∴AD⊥PD．

∵CD∩PD=D，∴AD⊥平面PDC．

∵PC⊂平面ABCD，∴AD⊥PC；

（2）证明：取BP中点H，连接GH，CH．

∵G，F分别为AP，DC的中点，

∴GH∥AB，GH=，FC∥AB，FC=．

∴GH∥FC，GH=FC．

∴四边形GFCH是平行四边形，

∴FG∥CH，CH⊂平面BCP，FG⊄平面BCP

∴FG∥平面BCP；

（3）∵PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

假设在线段AD上存在一点R，使得平面BFR⊥平面PCB，

设R（m，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），P（0，0，），

则，

．

设平面BCP的法向量为

由，得，

令y，得x1=0，z1=1，所以．

设平面BPR的法向量为

由，得，令x2=1，得

所以．

∵，∴，解得．

∴线段AD上存在点R，且当时，使得平面BPR⊥平面PCB．

解析

（1）证明：∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD

∵PD⊥底面ABCD，AD⊂哦ing面ABCD，

∴AD⊥PD．

∵CD∩PD=D，∴AD⊥平面PDC．

∵PC⊂平面ABCD，∴AD⊥PC；

（2）证明：取BP中点H，连接GH，CH．

∵G，F分别为AP，DC的中点，

∴GH∥AB，GH=，FC∥AB，FC=．

∴GH∥FC，GH=FC．

∴四边形GFCH是平行四边形，

∴FG∥CH，CH⊂平面BCP，FG⊄平面BCP

∴FG∥平面BCP；

（3）∵PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

假设在线段AD上存在一点R，使得平面BFR⊥平面PCB，

设R（m，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），P（0，0，），

则，

．

设平面BCP的法向量为

由，得，

令y，得x1=0，z1=1，所以．

设平面BPR的法向量为

由，得，令x2=1，得

所以．

∵，∴，解得．

∴线段AD上存在点R，且当时，使得平面BPR⊥平面PCB．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．

正确答案

证明：连接AC

∵AB是圆O的直径

∴∠ACB=90°即BC⊥AC

又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内

∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线

∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．

解析

证明：连接AC

∵AB是圆O的直径

∴∠ACB=90°即BC⊥AC

又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内

∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线

∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．

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题型：简答题

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简答题

正方形ABCD的边长为1，分别取边BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE，EF，AF为折痕，折叠这个正方形，使点B，C，D重合于一点P，得到一个四面体，如图所示．

（1）求证：AP⊥EF；

（2）求证：平面APE⊥平面APF；

（3）求三棱锥P-AEF的体积．

正确答案

（本小题满分14分）

证明：（1）∵∠APE=∠APF=90°，

PE∩PF=P，

∴PA⊥平面PEF．…（3分）

又EF⊂平面PEF，

AP⊥EF；…5分

（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，

∴PE⊥平面APF．…（8分）

又PE⊂平面APE，

∴平面APE⊥平面APF．…（10分）

（3）由（1）知PA⊥平面PEF，

∴==．…（14分）

解析

（本小题满分14分）

证明：（1）∵∠APE=∠APF=90°，

PE∩PF=P，

∴PA⊥平面PEF．…（3分）

又EF⊂平面PEF，

AP⊥EF；…5分

（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，

∴PE⊥平面APF．…（8分）

又PE⊂平面APE，

∴平面APE⊥平面APF．…（10分）

（3）由（1）知PA⊥平面PEF，

∴==．…（14分）

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题型：简答题

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简答题

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；

（2）试在PB上找一点M，使截面AMC把几何体分成两部分，且；

（3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD．

正确答案

解：（1）证明：依题意知CD⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴DC⊥平面PAD

又DC⊂平面PCD，

∴平面PAD⊥平面PCD．（4分）

（2）解：∵，（6分）

设P、M到底面ABCD的距离分别为h、hM，

则

∴，

∴M为PB中点．（8分）

（3）∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD（10分）

若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，

∴平面ABM∥平面PCD

这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾

∴AM与平面PCD不平行（12分）

解析

解：（1）证明：依题意知CD⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴DC⊥平面PAD

又DC⊂平面PCD，

∴平面PAD⊥平面PCD．（4分）

（2）解：∵，（6分）

设P、M到底面ABCD的距离分别为h、hM，

则

∴，

∴M为PB中点．（8分）

（3）∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD（10分）

若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，

∴平面ABM∥平面PCD

这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾

∴AM与平面PCD不平行（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、B1C的中点．

（1）求证：DE∥平面ABB1A1；

（2）求证：平面ADE⊥平面B1BC．

正确答案

证明：（1）在△CBB1中，

∵D、E分别为BC、B1C的中点，

∴DE∥BB1（4分）

又∵BB1⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1

∴所以DE∥平面ABB1A1．（7分）

（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，

∴BB1⊥AD （9分）

∵在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC （11分）

∵BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面B1BC，

∴AD⊥平面B1BC．

又∵AD⊂平面ADE

∴平面ADE⊥平面B1BC．（14分）

解析

证明：（1）在△CBB1中，

∵D、E分别为BC、B1C的中点，

∴DE∥BB1（4分）

又∵BB1⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1

∴所以DE∥平面ABB1A1．（7分）

（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，

∴BB1⊥AD （9分）

∵在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC （11分）

∵BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面B1BC，

∴AD⊥平面B1BC．

又∵AD⊂平面ADE

∴平面ADE⊥平面B1BC．（14分）

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面四边形ABCD是梯形，AB∥DC，BC=DC=2AB=2，，求证：平面PAD⊥平面PDC．

正确答案

解：取CD中点Q，连接BQ，则DQ=1=AB，又AB∥DC，

∴ABQD为平行四边形，从而BQ=AD=，

∵BQ=，CQ=1，BC=2

∴CQ⊥BQ，CD⊥AD

又∵平面PAD⊥平面ABCD

∴CD⊥平面PAD

CD⊂平面PDC

∴平面PAD⊥平面PDC

解析

解：取CD中点Q，连接BQ，则DQ=1=AB，又AB∥DC，

∴ABQD为平行四边形，从而BQ=AD=，

∵BQ=，CQ=1，BC=2

∴CQ⊥BQ，CD⊥AD

又∵平面PAD⊥平面ABCD

∴CD⊥平面PAD

CD⊂平面PDC

∴平面PAD⊥平面PDC

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题型：简答题

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简答题

在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．

正确答案

解：如图示，连结AC和BD，相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD，且PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

解析

解：如图示，连结AC和BD，相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD，且PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

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