- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC．
正确答案
∵△PCE中，E、M分别为PD、PC的中点
∴EM∥CD，EM=
又∵CD∥AB且AB=
∴EM∥AB，EM=AB，
∴四边形ABME是平行四边形．
∴AE∥BM，
∵AE⊄平面PBC，AE⊂平面PBC
∴AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，
∴CD⊥平面PBC，
结合BM⊂平面PBC，所以CD⊥BM．
∵在正△PBC中，M是PC中点
∴BM⊥PC，
∵CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PDC，
∴BM⊥平面PDC，
又∵AE∥BM，
∴AE⊥平面PDC
∵AE⊂平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC…（14分）
解析
∵△PCE中，E、M分别为PD、PC的中点
∴EM∥CD，EM=
又∵CD∥AB且AB=
∴EM∥AB，EM=AB，
∴四边形ABME是平行四边形．
∴AE∥BM，
∵AE⊄平面PBC，AE⊂平面PBC
∴AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，
∴CD⊥平面PBC，
结合BM⊂平面PBC，所以CD⊥BM．
∵在正△PBC中，M是PC中点
∴BM⊥PC，
∵CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PDC，
∴BM⊥平面PDC，
又∵AE∥BM，
∴AE⊥平面PDC
∵AE⊂平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC…（14分）
（1）求证：平面A1BC⊥平面A1AC；
（2）求三棱锥A1-ABC的体积V最大时二面角A-A1B-C的大小的余弦值．
正确答案
∴AA1⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，又AA1∩AC=A，
∴BC⊥平面A1AC，
又BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥平面AA1C；
（2）解：在Rt△A1AB中，AA1=AB=4，
设AC=a，BC=b，则a2+b2=16
∴AC=BC时三棱锥A1-ABC的体积V最大，
取AB中点O，则CO⊥AB，
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CO
∴CO⊥面A1BC，∴CO⊥A1B
做OD⊥A1B于D，连接CD
则A1B⊥面COD
∴∠CDO为二面角A-A1B-C的平面
又∵
∴
故
解析
∴AA1⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，又AA1∩AC=A，
∴BC⊥平面A1AC，
又BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥平面AA1C；
（2）解：在Rt△A1AB中，AA1=AB=4，
设AC=a，BC=b，则a2+b2=16
∴AC=BC时三棱锥A1-ABC的体积V最大，
取AB中点O，则CO⊥AB，
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CO
∴CO⊥面A1BC，∴CO⊥A1B
做OD⊥A1B于D，连接CD
则A1B⊥面COD
∴∠CDO为二面角A-A1B-C的平面
又∵
∴
故
（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若点E在棱AA1上，且AE=2EA1，问在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，说明理由．
正确答案
∴四边形ACC1A1为平行四边形，
∴四边形A1O1CO为平行四边形（2分）
∴A1O∥CO1
∵A1O⊥平面ABCD
∴O1C⊥平面ABCD（4分）
∵O1C⊂平面O1DC
∴平面O1DC⊥平面ABCD（5分）
（2）F为BC的三等分点B（靠近B）时，有EF⊥BC（6分）
过点E作EH⊥AC于H，连FH、EF
∵平面A1AO⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD
又BC⊂平面ABCD∴BC⊥EH①
∵
∴
∴HF∥AB∴HF⊥BC，②
由①②知，BC⊥平面EFH，
∵EF⊂平面EFH，
∴EF⊥BC（12分）
解析
∴四边形ACC1A1为平行四边形，
∴四边形A1O1CO为平行四边形（2分）
∴A1O∥CO1
∵A1O⊥平面ABCD
∴O1C⊥平面ABCD（4分）
∵O1C⊂平面O1DC
∴平面O1DC⊥平面ABCD（5分）
（2）F为BC的三等分点B（靠近B）时，有EF⊥BC（6分）
过点E作EH⊥AC于H，连FH、EF
∵平面A1AO⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD
又BC⊂平面ABCD∴BC⊥EH①
∵
∴
∴HF∥AB∴HF⊥BC，②
由①②知，BC⊥平面EFH，
∵EF⊂平面EFH，
∴EF⊥BC（12分）
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
正确答案
（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴
∴四边形BHFE为平行四边形．
∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．
∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．
解析
（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴
∴四边形BHFE为平行四边形．
∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．
∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．
（1）求证：平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）求D1到面AB1C的距离；
（3）求三棱锥D1-ACB1的体积V．
正确答案
又因为AC⊂平面B1EF，所以平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）解：连接AC、BD交与点O，连接B1O．
过点D1作D1H⊥B1O，则D1H即为所求．
在△B1D1O中，由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
底面边长为
可得D1O=B1O=
∴cos∠D1B1O=
∴
即D1到面AB1C的距离为
（3）解：
所以三棱锥D1-ACB1的体积为
解析
又因为AC⊂平面B1EF，所以平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）解：连接AC、BD交与点O，连接B1O．
过点D1作D1H⊥B1O，则D1H即为所求．
在△B1D1O中，由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
底面边长为
可得D1O=B1O=
∴cos∠D1B1O=
∴
即D1到面AB1C的距离为
（3）解：
所以三棱锥D1-ACB1的体积为
（Ⅰ）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）若D，E分别为A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．
正确答案
证明：（I）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC．
∴AA1⊥AC，又AA1=AC，∴A1C⊥AC1． …（2分）
又BC1⊥A1C，且AC1∩BC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，
而A1C⊂面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1…（6分）
（II）取A1A中点F，连EF，FD，EF∥AB，DF∥AC1…（9分）
即平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1…（12分）
解析
证明：（I）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC．
∴AA1⊥AC，又AA1=AC，∴A1C⊥AC1． …（2分）
又BC1⊥A1C，且AC1∩BC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，
而A1C⊂面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1…（6分）
（II）取A1A中点F，连EF，FD，EF∥AB，DF∥AC1…（9分）
即平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1…（12分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，求证：平面SBD⊥平面SAC；
正确答案
证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC，
又BD⊂平面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC．
解析
证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC，
又BD⊂平面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC．
正确答案
解析
解：由AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABC、平面ABD，
所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD；
由AB⊥平面BCD可得：CD⊥AB，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，
又CD⊂平面ACD，故平面ABC⊥平面ACD．
故选A．
（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（2）求点D到平面PCE的距离．
正确答案
（1）证明：取PD的中点F，则AF⊥PD．
∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD．
∴AF⊥平面PCD．
取PC的中点G，连接EG、FG，可证AFGE为平行四边形．
∴AF∥EG．∴EG⊥平面PCD．
∵EG在平面PCE内，
∴平面PCE⊥平面PCD．
（2）解：在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于点H．
∵平面PCE⊥平面PCD，∴DH⊥平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离．
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=
在Rt△PCD中，PD=
∴DH=
解析
（1）证明：取PD的中点F，则AF⊥PD．
∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD．
∴AF⊥平面PCD．
取PC的中点G，连接EG、FG，可证AFGE为平行四边形．
∴AF∥EG．∴EG⊥平面PCD．
∵EG在平面PCE内，
∴平面PCE⊥平面PCD．
（2）解：在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于点H．
∵平面PCE⊥平面PCD，∴DH⊥平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离．
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=
在Rt△PCD中，PD=
∴DH=
m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β
②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α
④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
正确答案
解析
解：若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，不能保证n⊥β，则α⊥β不一定成立，故①错误；
若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m与n可能平行也可能相交，故②错误；
若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，设α∩β=a，α∩γ=b，则m⊥a且m⊥b，故m⊥α，故③正确；
若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，又由n⊥β，则α⊥β，故④正确．
故选C
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