- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若三角形ABC是边长为
正确答案
∠PAC=∠PBC=90°，
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
可得AC=BC．
如图，取AB中点D，连接
PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
（II）（1）作BE⊥PC，垂足为E，连接AE．
因为Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE=BE．
在三角形ABE中，由已知，得BE=AE=2，AB=2
故∠AEB=90°．
从而，平面PAC⊥平面PBC，
（2）因为Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
由已知得PC=4，AE=BE=2，
△AEB的面积S=2．
因为PC⊥平面AEB，
所以三棱锥P-ABC的体积：
V=
解析
∠PAC=∠PBC=90°，
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
可得AC=BC．
如图，取AB中点D，连接
PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
（II）（1）作BE⊥PC，垂足为E，连接AE．
因为Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE=BE．
在三角形ABE中，由已知，得BE=AE=2，AB=2
故∠AEB=90°．
从而，平面PAC⊥平面PBC，
（2）因为Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
由已知得PC=4，AE=BE=2，
△AEB的面积S=2．
因为PC⊥平面AEB，
所以三棱锥P-ABC的体积：
V=
（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN．
正确答案
∵ABCD为矩形，
∴O为BD中点
又M为SD中点，
∴MO∥SB …（3分）
MO⊂平面ACM，SB⊄平面AC…（4分）
∴SB∥平面ACM …（5分）
（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥CD
∵ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，且SA∩AD=A，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥AM…（8分）
∵SA=AD，M为SD的中点，
∴AM⊥SD，且CD∩SD=D，
∴AM⊥平面SCD，
∴AM⊥SC …（10分）
又∵SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
∵SC⊂平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．…（12分）
解析
∵ABCD为矩形，
∴O为BD中点
又M为SD中点，
∴MO∥SB …（3分）
MO⊂平面ACM，SB⊄平面AC…（4分）
∴SB∥平面ACM …（5分）
（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥CD
∵ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，且SA∩AD=A，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥AM…（8分）
∵SA=AD，M为SD的中点，
∴AM⊥SD，且CD∩SD=D，
∴AM⊥平面SCD，
∴AM⊥SC …（10分）
又∵SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
∵SC⊂平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．…（12分）
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．
正确答案
∵OA=OC，D是AC的中点
∴AC⊥OD
又∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O
∴AC⊥PO
∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线
∴AC⊥平面POD，
而AC⊂平面PAC
∴平面POD⊥平面PAC
（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC
所以OH⊥平面PAC，
又∵PA⊂平面PAC
∴PA⊥HO
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角
在Rt△ODA中，OD=OA•sin45°=
在Rt△ODP中，OH=
在Rt△OPA中，OG=
在Rt△OGH中，sin∠OGH=
所以cos∠OGH=
故二面角B-PA-C的余弦值为
解析
∵OA=OC，D是AC的中点
∴AC⊥OD
又∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O
∴AC⊥PO
∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线
∴AC⊥平面POD，
而AC⊂平面PAC
∴平面POD⊥平面PAC
（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC
所以OH⊥平面PAC，
又∵PA⊂平面PAC
∴PA⊥HO
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角
在Rt△ODA中，OD=OA•sin45°=
在Rt△ODP中，OH=
在Rt△OPA中，OG=
在Rt△OGH中，sin∠OGH=
所以cos∠OGH=
故二面角B-PA-C的余弦值为
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．
正确答案
因为F是PC的中点，…（5分）
所以EF∥PA，
又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
故EF∥平面PAD． …（7分）
（Ⅱ）设AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得
又因为AB=
所以
又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．
所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC． …（10分）
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC． …（12分）
又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE． …（14分）
解析
因为F是PC的中点，…（5分）
所以EF∥PA，
又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
故EF∥平面PAD． …（7分）
（Ⅱ）设AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得
又因为AB=
所以
又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．
所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC． …（10分）
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC． …（12分）
又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE． …（14分）
三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（ ）
A5
B2
C3
D5
正确答案
解析
解：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，
则a2+b2+c2=32+42+52=50
因为OP为长方体的对角线．
所以OP=5
故选：D．
在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为______．
正确答案
45°
解析
∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH2=（3cosθ）2+42-2×4×3cosθ×cos（90°-θ），
∴在Rt△ACH中，
AC2=25-12sin2θ，
∴θ=45°时，AC长最小．
答案：45°
（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
正确答案
解：
（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．
设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为
解析
解：
（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．
设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为
（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）求证：平面A′DE⊥平面ABCD．
正确答案
解：（Ⅰ） 取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知：FG∥CD，FG=
∴FG∥BE，FG=BE．∴四边形BEGF为平行四边形，∴BF∥EG，又BF⊄平面A′DE内，∴BF∥平面A′DE．
（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，AE=EB=EA′=AD=DA′=a，取DE中点H，连接AH、CH，
∴A′H⊥DE，∵∠A=∠A′=60°，∴AH=A′H=
在△CHD中，CH2=DH2+DC2-2DH×DCcos60°=（
在△CHA′中，∵CH2+A′H2=
又∵HC∩DE=H，∴A′H⊥面ABCD． 又∵A′H⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面ABCD．
解析
解：（Ⅰ） 取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知：FG∥CD，FG=
∴FG∥BE，FG=BE．∴四边形BEGF为平行四边形，∴BF∥EG，又BF⊄平面A′DE内，∴BF∥平面A′DE．
（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，AE=EB=EA′=AD=DA′=a，取DE中点H，连接AH、CH，
∴A′H⊥DE，∵∠A=∠A′=60°，∴AH=A′H=
在△CHD中，CH2=DH2+DC2-2DH×DCcos60°=（
在△CHA′中，∵CH2+A′H2=
又∵HC∩DE=H，∴A′H⊥面ABCD． 又∵A′H⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面ABCD．
正确答案
DM⊥PC（或BM⊥PC等）
解析
解：由定理可知，BD⊥PC．
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．
故选DM⊥PC（或BM⊥PC等）
（1）求证：平面EFG∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD．
正确答案
证明：（1）E、F分别是AB、PB的中点，
∴EF∥PA．
∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
同理证明EG∥平面PAD，
∵EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAD；
（2）∵E、F分别是AB、PB的中点，
∴EF∥PA．
∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
又PD⊥底面ABCD，
∴AD是斜线PA在平面ABCD内的射影．
∴PA⊥CD．
∴EF⊥CD．
解析
证明：（1）E、F分别是AB、PB的中点，
∴EF∥PA．
∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
同理证明EG∥平面PAD，
∵EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAD；
（2）∵E、F分别是AB、PB的中点，
∴EF∥PA．
∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
又PD⊥底面ABCD，
∴AD是斜线PA在平面ABCD内的射影．
∴PA⊥CD．
∴EF⊥CD．
扫码查看完整答案与解析