直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A A1⊥底面ABC，AB⊥BC；

（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥侧面A1ABB1．

（Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为，求AB的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：如图，

已知AA1⊥平面ABC，BC⊂面ABC，∴AA1⊥BC，

又已知AB⊥BC，且AB∩AA1=A，∴BC⊥平面AA1BB1，

而BC⊂面A1BC，∴平面A1BC⊥面A1ABB1；

（Ⅱ）解：过点A在平面AA1BB1内作AD⊥A1B，垂足是D，连结CD，

∵平面A1BC⊥面A1ABB1，且面A1BC∩面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，则CD为CA在平面A1BC内的射影，

∴∠ACD为直线AC与平面A1BC所成角．

即∠ACD=60°，

∵AC=a，∴，

在Rt△A1AD内，，

∴，

在Rt△AA1B内，．

解析

（Ⅰ）证明：如图，

已知AA1⊥平面ABC，BC⊂面ABC，∴AA1⊥BC，

又已知AB⊥BC，且AB∩AA1=A，∴BC⊥平面AA1BB1，

而BC⊂面A1BC，∴平面A1BC⊥面A1ABB1；

（Ⅱ）解：过点A在平面AA1BB1内作AD⊥A1B，垂足是D，连结CD，

∵平面A1BC⊥面A1ABB1，且面A1BC∩面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，则CD为CA在平面A1BC内的射影，

∴∠ACD为直线AC与平面A1BC所成角．

即∠ACD=60°，

∵AC=a，∴，

在Rt△A1AD内，，

∴，

在Rt△AA1B内，．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．

（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

正确答案

解：

（1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．

所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．

所以AC⊥平面PBD．

故平面PAC⊥平面PBD（6分）

（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．

所以HA=HB=．

因为∠APB=∠ADB=60°

所以PA=PB=，HD=HC=1．

可得PH=．

等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）

所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）

解析

解：

（1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．

所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．

所以AC⊥平面PBD．

故平面PAC⊥平面PBD（6分）

（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．

所以HA=HB=．

因为∠APB=∠ADB=60°

所以PA=PB=，HD=HC=1．

可得PH=．

等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）

所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）

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题型：简答题

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简答题

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED．

（Ⅱ）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

设正方形边长为2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）…（2分）

=（0，2，2），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（-2，0，2），

从而有=0，=0，

即BD⊥AC，BD⊥AE，

因为AC∩AE=A，

所以BD⊥平面AEC，

因为BD⊂平面BED，

所以平面BED⊥平面AEC．…（6分）

（Ⅱ）解：设平面BED的法向量为=（x，y，z），

则，故取=（1，1，1）…（8分）

而=（-2，2，2），设直线EC与平面BED所成的角为θ，

则有sinθ=|cos＜，＞|== …（12分）

解析

（Ⅰ）证明：以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

设正方形边长为2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）…（2分）

=（0，2，2），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（-2，0，2），

从而有=0，=0，

即BD⊥AC，BD⊥AE，

因为AC∩AE=A，

所以BD⊥平面AEC，

因为BD⊂平面BED，

所以平面BED⊥平面AEC．…（6分）

（Ⅱ）解：设平面BED的法向量为=（x，y，z），

则，故取=（1，1，1）…（8分）

而=（-2，2，2），设直线EC与平面BED所成的角为θ，

则有sinθ=|cos＜，＞|== …（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，为A1A上一点，且三棱锥D-ABC的体积为三棱柱ABC-A1B1C1的体积的．

（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）在直线C1B上是否存在一点E，使A1E平行于平面BCD，若存在，求C1E与EB的比值；若不存在，试说明理由．

正确答案

（1）证明：∵三棱锥D-ABC的体积为三棱柱ABC-A1B1C1的体积的，

∴AD=AA1，即D为AA1的中点

∴AC=AD=A1D=A1C1∴∠CDA=∠C1DA1=45°

∴C1D⊥CD

∵BC⊥平面A1ACC1，

∴C1D⊥BC

∵CD∩BC=C

∴C1D⊥平面BCD

∵C1D⊂平面BDC1，

∴平面BDC1⊥平面BDC；

（2）解：存在C1B的中点E，使A1E平行于平面BCD，证明如下：

取B1B的中点F，连接A1F，EF，A1E

则A1F∥BD

∵EF∥B1C1∥BC，∴平面A1EF∥平面BDC，

∵A1E⊂平面A1EF

∴A1E∥平面BCD

此时，C1E与EB的比值为1．

解析

（1）证明：∵三棱锥D-ABC的体积为三棱柱ABC-A1B1C1的体积的，

∴AD=AA1，即D为AA1的中点

∴AC=AD=A1D=A1C1∴∠CDA=∠C1DA1=45°

∴C1D⊥CD

∵BC⊥平面A1ACC1，

∴C1D⊥BC

∵CD∩BC=C

∴C1D⊥平面BCD

∵C1D⊂平面BDC1，

∴平面BDC1⊥平面BDC；

（2）解：存在C1B的中点E，使A1E平行于平面BCD，证明如下：

取B1B的中点F，连接A1F，EF，A1E

则A1F∥BD

∵EF∥B1C1∥BC，∴平面A1EF∥平面BDC，

∵A1E⊂平面A1EF

∴A1E∥平面BCD

此时，C1E与EB的比值为1．

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题型：简答题

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简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1=C1E=BC=AB=1．

①求证：D1E∥平面ACB1；

②求证：平面D1B1E⊥平面DCB1．

正确答案

解：①连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，

所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．

又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，

所以D1E∥AB1．

因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，

所以D1E∥平面ACB1．

②连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．

因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，

所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，

所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，

所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．

解析

解：①连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，

所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．

又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，

所以D1E∥AB1．

因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，

所以D1E∥平面ACB1．

②连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．

因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，

所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，

所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，

所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．

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题型：单选题

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单选题

已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

②若α⊥β，β⊥γ，则α∥β；

③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；

④若m⊥α，n⊥β，则α∥β．

其中真命题是（　　）

A①和④

B①和③

C②和③

D②和④

正确答案

B

解析

解：由线面间相关定理进行判断，对于①，垂直于同一直线的两个平面平行故若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立．

对于②两个平面与第三个平面垂直，则两个平面的位置关系可能平行，相交，若α⊥β，β⊥γ，则α∥β不一定成立．

对于③，两条直线垂直于两个平行的平面，则两个直线一定平行，故m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n成立．

对于④，两个平面与两条位置关系不确定的直线垂直，两平面的位置关系无法确定，故若m⊥α，n⊥β，则α∥β不一定成立．

综上判断知①③是正确的，故应选B．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知三棱锥S-ABC中，侧棱SA=SB=SC，又有∠ABC=90°，求证：平面ABC⊥平面ASC．

正确答案

证明：作SH⊥AC交AC于点H，

∵SA=SC，

∴AH=HC．

在Rt△ABC中，H是AC的中点，

∴BH=AC=AH，

又SH=SH，SA=SB，

∴△SAH≌△SBH（SSS），

∴SH⊥BH，

又AC∩BH=H，

∴SH⊥平面ABC，

又SHㄷ平面ASC，

∴平面ABC⊥平面ASC．

解析

证明：作SH⊥AC交AC于点H，

∵SA=SC，

∴AH=HC．

在Rt△ABC中，H是AC的中点，

∴BH=AC=AH，

又SH=SH，SA=SB，

∴△SAH≌△SBH（SSS），

∴SH⊥BH，

又AC∩BH=H，

∴SH⊥平面ABC，

又SHㄷ平面ASC，

∴平面ABC⊥平面ASC．

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题型：简答题

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简答题

如图，是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面PBC．

（1）证明：平面PAC丄平面PBC；

（2）设PA=，AC=1，求A点到平面PCB的距离．

正确答案

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）由（1）知：平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴过A点作PC的垂线，垂足为D，

在Rt△PAC中，PA=，AC=1，∴PC=2，

由AD×PC=PA×AC，

∴AD===，

∴A点到平面PCB的距离为．

解析

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）由（1）知：平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴过A点作PC的垂线，垂足为D，

在Rt△PAC中，PA=，AC=1，∴PC=2，

由AD×PC=PA×AC，

∴AD===，

∴A点到平面PCB的距离为．

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题型：简答题

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简答题

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，

∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又DB∩DC=D，

∴AD⊥平面BDC，

∵AD⊂平面ADB

∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直，

不防设|DB|=1，以D为坐标原点，

分别以、、所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），

A（0，0，），E（，，0），

∴=，

=（1，0，0），

∴与夹角的余弦值为

cos＜，＞==．

解析

解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，

∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又DB∩DC=D，

∴AD⊥平面BDC，

∵AD⊂平面ADB

∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直，

不防设|DB|=1，以D为坐标原点，

分别以、、所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），

A（0，0，），E（，，0），

∴=，

=（1，0，0），

∴与夹角的余弦值为

cos＜，＞==．

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题型：简答题

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简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不在BC的端点处），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）求证：A1F∥平面ADE．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC1，∵AD⊥DE，且DE∩CC1=D，

∴AD⊥平面B1BCC1，

∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面B1BCC1，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）得AD⊥平面B1BCC1，∵BC⊂平面B1BCC1，

∴AD⊥BC，

在△ABC中，AB=AC，∴D为BC的中点，

连接DF，得DF∥AA1，且DF=AA1，即四边形AA1FD为平行四边形，∴A1F∥AD，

∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

A1F∥平面ADE．

解析

解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC1，∵AD⊥DE，且DE∩CC1=D，

∴AD⊥平面B1BCC1，

∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面B1BCC1，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）得AD⊥平面B1BCC1，∵BC⊂平面B1BCC1，

∴AD⊥BC，

在△ABC中，AB=AC，∴D为BC的中点，

连接DF，得DF∥AA1，且DF=AA1，即四边形AA1FD为平行四边形，∴A1F∥AD，

∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

A1F∥平面ADE．

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