- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为
（1）求证：EF∥平面SAD；
（2）试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD．
正确答案
解：（1）取SD的中点G，连结AG，FG，则FG∥CD∥AE，FG=AE，FG=
∴AEFG为平行四边形，
∴AG∥EF，AG=EF，
∵AG⊂平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
（2）连结AC与BD相交于点O，取OC的中点H，连结SO，FH，EH，
延长EH交CD于M，
则SO⊥底面ABCD，
FH∥S0，
∴FH⊥底面ABCD，
∴平面EFM⊥底面ABCD，
由AB∥CM知，
∴MC=
即当
解析
解：（1）取SD的中点G，连结AG，FG，则FG∥CD∥AE，FG=AE，FG=
∴AEFG为平行四边形，
∴AG∥EF，AG=EF，
∵AG⊂平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
（2）连结AC与BD相交于点O，取OC的中点H，连结SO，FH，EH，
延长EH交CD于M，
则SO⊥底面ABCD，
FH∥S0，
∴FH⊥底面ABCD，
∴平面EFM⊥底面ABCD，
由AB∥CM知，
∴MC=
即当
（1）求证：平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）求证：平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
正确答案
（1）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F，
又∵B1F1∩AF1，BF∩C1F
∴平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）∵F1是A1C1的中点．△A1B1C1是等边三角形，
∴B1F1⊥A1C1，面A1B1C1，
又AA1⊥平面A1B1C1，又B1F1⊂平面A1B1C1
∴AA1⊥B1F1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1．
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
解析
（1）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F，
又∵B1F1∩AF1，BF∩C1F
∴平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）∵F1是A1C1的中点．△A1B1C1是等边三角形，
∴B1F1⊥A1C1，面A1B1C1，
又AA1⊥平面A1B1C1，又B1F1⊂平面A1B1C1
∴AA1⊥B1F1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1．
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
（1）求异面直线D1E和DC所成角的正切值；
（2）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1．
正确答案
∵ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱，
∴AA1⊥平面ABCD．
∴平面ADD1A1⊥平面ABCD．
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADD1A1．
∴AB⊥AD1．
由已知AD=2
∴AD1=
而AE=
∴tan∠ADE1=
∵CD∥AB．
∴DC与D1E所成的角就是AB与D1E所成的角，即∠D1EA．
∴直线DC与D1E所成的角为arctan2
（Ⅱ）连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．
又BB1⊥EF，且BD∩B1B=B．
∴EF⊥平面BDD1B1．
∵EF⊂平面EFB1．
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．
解析
∵ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱，
∴AA1⊥平面ABCD．
∴平面ADD1A1⊥平面ABCD．
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADD1A1．
∴AB⊥AD1．
由已知AD=2
∴AD1=
而AE=
∴tan∠ADE1=
∵CD∥AB．
∴DC与D1E所成的角就是AB与D1E所成的角，即∠D1EA．
∴直线DC与D1E所成的角为arctan2
（Ⅱ）连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．
又BB1⊥EF，且BD∩B1B=B．
∴EF⊥平面BDD1B1．
∵EF⊂平面EFB1．
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．
正确答案
证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（2）∵PD=DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，
所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．
故可得平面BDE⊥平面PBC．…（12分）
解析
证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（2）∵PD=DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，
所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．
故可得平面BDE⊥平面PBC．…（12分）
在互相垂直的两个平面中，下列命题中
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
④过一个平面内的任意一点作垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内；
正确命题的序号是______．
正确答案
∵α⊥β，设α∩β=c，在α内的直线a，a∩c=O，则a不垂直于 c，∴①×；
∵α⊥β，在其中一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面内的任意直线．②√；
∵α⊥β，在其中一个平面内有无数条直线垂直于交线，这无数条直线都垂直于另一平面，也垂直于另一平面内的任意直线．③√；
∵根据平面与平面垂直的性质．④√；
故答案是②③④
已知α、β、γ为不同的平面，m、n为不同的直线．下列结论正确的序号有______．
①若m∥α且α∩β=n，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若α⊥β，m⊂β，则m⊥α；
⑤若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α．
正确答案
直线m不一定在β内，∴m、n位置关系有可能异面，∴①错误；
∵α∥β，β∥γ可通过作两相交平面，证与α、β、γ的交线相互平行⇒线面平行⇒面面平行，∴α∥γ，故②正确；
对③，设m与α的交点为O，过O与直线n的平面与α相交，交线是C，∵m⊥α，∴m⊥c，m⊥n，∴n∥c，n⊥β，∴c⊥β，c⊂α，∴α⊥β，③正确；
∵α⊥β，m⊂β，m与α的位置关系不确定，∴④不正确；
∵α⊥β，在β内作垂直于交线的垂线c，c⊥β，m⊥β，∴m∥c，m⊄α，∴m∥α，故⑤正确．
故答案是②③⑤
设m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是（ ）
正确答案
由m⊥l1，m⊥l2，及已知条件可以得出m⊥β，
又m⊂α得出α⊥β，
反之，α⊥β未必有m⊥l1，m⊥l2，
故m⊥l1，m⊥l2是α⊥β的充分不必要条件，
其余选项均推不出α⊥β．
故选B．
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；
②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是
③若α内存在不共线三点到β的距离相等，则平面α∥平面β．其中正确结论的序号为______．（把你认为正确的命题序号都填上）
正确答案
①化简函数y=sin4x-cos4x=-cos2x，可知最小正周期是π，正确．
②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的
充要条件是
③若α内存在不共线三点到β的距离相等，则平面α∥平面β．
当三个点分布在平面β的两侧时，也满足条件，故不正确．
故答案为：①
下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面．
（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，E为AB中点，求证面SEC⊥面SCD．
正确答案
（1）存在一条侧棱垂直于底面．
证明：∵SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD内的交线，
∴SA⊥底面ABCD．
（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，
则GF∥EA，GF=EA，∴AF∥EG．
而由SA⊥面ABCD得 SA⊥CD，
又AD⊥CD，∴CD⊥面SAD，∴CD⊥AF，
又SA=AD，F是中点，∴AF⊥SD，
∴AF⊥面SCD，EG⊥面SCD，∴面SEC⊥面SCD．
如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是______．
正确答案
此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，
随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2
因CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，
对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=
又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，因此有AD⊥BD
再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=
因此t的取值的范围是（
故答案为（
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