热门试卷

（Ⅰ）证明：取AB中点G，连接GF，GC，

∵EC∥AG，EC=AG，∴四边形AECG为平行四边形，

∴AE∥GC，

在△ABP中，GF∥AP，

又GF∩GC=G，AE∩AP=A，

∴平面APE∥平面FGC

∵FC⊂平面FGC，

∴CF∥面APE．…（4分）

（Ⅱ）证明：取AE中点O，连接PO，则PA=PE，OA=OE，∴PO⊥AE，

取BC的中点H，连OH，PH，

∴OH∥AB，∴OH⊥BC，

∵PB=PC，∴BC⊥PH，

∴BC⊥面POH，

∴BC⊥PO，

又BC与AE相交，可得PO⊥面ABCE，

所以，面APE⊥面ABCE．…（9分）

（Ⅲ）VC-PBE=VP-CBE=S△BCE•PO=×(×2×2)×=．…（13分）

（I）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD

∴PA⊥CD

又CD⊥PC，PA∩PC=P．

∴CD⊥平面PAC

∵CD⊂平面PCD

∴平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，

∴∠BAC=45°，∠CAD=45°，AC=

∵CD⊥平面PAC，CA⊂平面PAC

∴CD⊥CA，

∴Rt△ACD中，AD=AC=2

又∵E为AD的中点，

∴四边形ABCE是正方形，

∴CE∥AB

∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB

∴CE∥平面PAB．

（Ⅲ）设PC的中点为F，连AF．

在Rt△PAC中，PA=，AC=，PC=2，

∴AF⊥PC，且AF=1，

由（Ⅰ）知：平面PAC⊥平面PCD，

∵平面PAC∩平面PCD=PC

∴AF⊥平面PCD，

在Rt△PCD中，CD=，PC=2，

∴S△PCD=CD•PC=，

∴VA-PCD=S△PCD•AF=••1=

证明：（1）依题意，在正三棱柱中，AD=，

AA1=3，从而AB=2，AA1⊥平面ABC，

所以正三棱柱的体积V=Sh=×AB×AD×AA1=×2××3=3．

（2）连接A1C，设A1C∩AC1=E，

连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面，

所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，

所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，

因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．

（3）AD垂直平面BCC1B1，AD⊂平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD⊂平面AC1D

所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D．

法一（几何法）：

证明：（1）∵AC=BC=a

∴△ACB是等腰三角形，

又D是AB的中点∴CD⊥AB，

又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB

于是AB⊥平面VCD．

又AB⊂平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD

（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH

则由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB

于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．

在Rt△CHD中，CD=a，CH=asinθ；

设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴sinθ=sinφ∵0＜θ＜∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

又0≤φ≤，∴0＜φ＜

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，)．

法二（向量法）：

证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(，，0)，V(0，0，atanθ)，

于是，=(，，-atanθ)，=(，，0)，=(-a，a，0)．

从而•=(-a，a，0)•(，，0)=-a2+a2+0=0，即AB⊥CD．

同理•=(-a，a，0)•(，，-atanθ)=-a2+a2+0=0，

即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．

又AB⊂平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），

则由n•=0，n•=0．

得

可取n=(1，1，cotθ)，又=(0，-a，0)，

于是sinφ=||==sinθ，

∵0＜θ＜，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜．

又0≤φ≤，∴0＜φ＜．

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，)．

（1）证法1：过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，

又四边形ABCD为矩形，所以AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形故AE∥DG    

因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，

所以AE∥平面DCF   

证法2：（面面平行的性质法）

因为四边形BEFC为梯形，所以BE∥CF．

又因为BE⊄平面DCF，CF⊂平面DCF，

所以BE∥平面DCF．

因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥DC．同理可证AB∥平面DCF．

又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线，

所以平面ABE∥平面DCF．

又因为AE⊂平面ABE，所以AE∥平面DCF．

（2）在Rt△EFG中，∠CEF=90°，EG=，EF=2．∴∠GEF=30°，GF=EF=1．

在RT△CEG中，∠CEG=60°，∴CG=EGtan60°=3，BE=3．∵AB=3，M是AE中点，∴BM⊥AE，由侧视图是矩形，俯视图是直角梯形，

得BC⊥AB，BC⊥BE，∵AB∩BM=B，∴AE⊥平面BCM

又∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCM．

证明：（1）取AB、CD 的中点E、F．连结PE、EF、PF，

由PA=PB、PC=PD

得PE⊥AB，PF⊥CD

∴EF为直角梯形的中位线，∠BCD=90°，

∴EF⊥CD

又PF∩EF=F

∴CD⊥平面PEF

又∵PF⊂平面PEF，得CD⊥PE

又PE⊥AB且梯形两腰AB、CD必相交

∴PE⊥平面ABCD

又由PE⊂平面PAB

∴平面PAB⊥平面ABCD

（2）∵侧面PCD的面积S=•CD•PF=8且CD=4，

∴PF=4

又∵AD=1，BC=3，EF为直角梯形的中位线，

∴EF=（AD+BC）=2

又由PE⊥平面ABCD，故PE=2

∴四棱锥P-ABCD的体积V=•SABCD•PE=

（I）因为侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，所以AC⊥BC（2分）

又圆柱母线AA1⊥平面ABC，BC属于平面ABC，所以AA1⊥BC，

又AA1∩AC=A，所以BC⊥平面A1AC，

因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1AC；（6分）

（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，

当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，

三棱柱ABC-A1B1C1的体积为r2h，

三棱锥A1-ABC的体积为r2h，

四棱锥A1-BCC1B1的体积为r2h-r2h=r2h，（10分）

圆柱的体积为πr2h，

四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比为2：3π．（12分）

（1）证明：∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴DC⊥BC，

∵AB是圆O的直径，

∴BC⊥AC且DC∩AC=C，

∴BC⊥平面ADC，

∵四边形DCBE为平行四边形，

∴DE∥BC，

∴DE⊥平面ADC，

又∵DE⊂平面ADE，

∴平面ACD⊥平面ADE；

（2）所求简单组合体的体积：V=VE-ABC+VE-ADC

∵AB=2，BC=1，tan∠EAB==，

∴BE=，AC==，

∴VE-ADC=S△ADC•DE=AC•DC•DE=

VE-ABC=S△ABC•EB=AC•BC•EB=

∴该简单几何体的体积V=1；