热门试卷

证明：（Ⅰ） ⇒BD⊥平面ACC1A     ①

设AC∩BD=O，AE的中点为M，连OM，则OM=EC=FB

∴FB∥CE∥OM

∴BOMF为平行四边形

∴FM∥BO即FM∥BD

由①，知⇒面AEF⊥面ACC1A1

（Ⅱ）∵AC⊥BD，平面AEF∩平面ABCD=l，l过A且l∥BD

∴AC⊥l，又BD⊥平面ACC1A1

∴l⊥平面ACC1A1，

∴l⊥AE

∴∠EAC为所求二面角的平面角θ．

∵∠ABC=60°，

∴AC=BC=CE

由CC1⊥AC

故△ECA为Rt△，即△ECA为等腰直角三角形

故∠EAC=θ=45°

证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°

∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，

又∵P，M是SC、SB的中点

∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）

（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）

∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角，

∵直线AM与直线PC所成的角为60°

∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，

则∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得AN=．

在Rt△AMN中，AM==•=．

在Rt△CNM中，tan∠MCN====

故二面角M-AC-B的正切值为．（5分）

证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP=DE．

又AB∥DE，且AB=DE．

∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）

又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE（6分）

（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB

∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD

∴DE⊥AF

又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE（10分）

又BP∥AF∴BP⊥平面CDE

又∵BP⊂平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE（12分）

证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．

又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD

所以直线EF∥平面PCD．

（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．

所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．

又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．

（1）证明：∵AB⊥PA，AB⊥AD，又二面角P-AB-D为60°

∴∠PAD=60°，

又AD=2PA，∴AP⊥PD

又AB⊥平面APD，又PD⊂平面APD，∴AB⊥PD，

∵AP，AB⊂平面ABP，且AP∩AB=A

∴PD⊥平面PAB，

又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD---------（7分）

（2）设E到平面PBC的距离为h，

∵AE∥平面PBC，∴A到平面PBC的距离亦为h

连接AC，

则VP-ABC=VA-PBC，设PA=2

∴××2×2×=××2××h

∴h=，

 设PE与平面PBC所成角为θ，

∴sinθ===---------------（14分）

（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A1O，OE，

在等边△A1BD中，BD⊥A1O，

∵BD⊥A1E，A1O⊂平面A1OE，A1O∩A1E=A1，

∴BD⊥平面A1OE，

于是BD⊥OE，

∴∠A1OE是二面角A1-BD-E的平面角，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，

∵E是棱CC1的中点，

∴由平面几何知识，得EO=a，A1O=a，A1E=3a，

满足A1E2=A1O2+EO2，

∴∠A1OE=90°，即平面A1BD⊥平面EBD．

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1-BD-E的大小为45°，

由（1）知，∠A1OE=45°，

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，EC=x，

由平面几何知识，得EO=，A1O=a，A1E=，

∴在△A1OE中，由A1E2=A1O2+EO2-2A1O•EO•cos∠A1OE，

得x2-8ax-2a2=0，

解得x=4a±3a，

∵4a+3a＞2a，4a-3a＜0，

∴棱OC1上不存在满足条件的点．

证明：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD

∵ABCD为正方形∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC

又BD在平面BPD内，

∴平面PAC⊥平面BPD      （6分）

（2）在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角，

在△BND中，BN=DN=a，BD=a

∴cos∠BND==-

（1）证明：∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，∴CE=，

又∠BCD=60°，

∴∠BEC=90°，∴BE⊥AB，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE，

∵PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，PA∩AB=A，

∴BE⊥面PAB，

∵BE⊂面PBE，

∴面PBE⊥面PAB．   

（2）连AC，BD交于O，则AO⊥BD

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PO⊥BD

∴∠POA为二面角P-BD-A的平面角，

∵PC与平面ABCD成60°角，

∴∠POA=60°

∵∠BCD=60°，BC=1，

∴AC=2，AD=

∴PA=6，PO=

∴cos∠POA==．