- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．
（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）求证：A1C∥平面AB1D；
（3）求二面角B-AB1-D的正切值．
正确答案
（1）证明：因为B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥B1B（1分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD（2分）
又B1B∩BC=B，
所以AD⊥平面B1BCC1（3分）
又AD⊂平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1（4分）
（2）连接A1B，交AB1于E，连DE（5分）
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点（6分）
又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，
所以DE∥A1C（7分）
又DE⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D（8分）
（3）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．
因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1．
又AB1⊂平面A1ABB1，所以AB1⊥DF．
又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG．（9分）
又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B-AB1-D的平面角．（10分）
因为AA1=AB=1，
所以在正△ABC中，DF=
在△ABC中，FG=
所以在Rt△DFG中，tan∠DFG=
如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：
（Ⅰ）EF∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．
正确答案
证明：
（Ⅰ）∵E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF∥CD． （2分）
∵底面ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴EF∥AB． （4分）
又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴EF∥平面PAB． （7分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD
∴PA⊥CD． （8分）
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD． （10分）
又PA∩AD=A，AP⊂面PAD，AD⊂面PAD，
∴DC⊥平面PAD． （12分）
∵DC⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC． （14分）
已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PB=PD，求证：平面PAC⊥平面PBD．
正确答案
证明：设AC与BD的交点为O，则
因为PB=PD，所以PO⊥BD
因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD
因为PO∪AC=O
所以BD⊥平面PAC
因为BD⊂平面PBD
所以平面PBD⊥平面PAC．
如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：
（1）AO与A′C′所成角；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB与平面AOC所成角．
正确答案
（1）∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成角就是∠OAC．∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥OA，
在Rt△AOC中，OC═OC=
（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角．
在Rt△OAE中，OE=
（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角为90°．（13分）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面BDF∥平面B1D1H；
（2）求证：平面BDF⊥平面A1AO；
（3）求证：EG⊥AC．
正确答案
证明：（1）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，∴B1D1∥BD．
∵BD⊂平面BDF，而B1D1不在平面BDF 内，∴B1D1∥平面BDF．
取DD1的中点N，则 AH∥D1N 且AH=D1N，故AHND1为平行四边形，∴HD1∥AN．
同理可证 BF∥AN，故HD1∥BF．
∵BF⊂平面BDF，而HD1不在平面BDF 内，∴HD1∥平面BDF．
这样，在平面平面B1D1H 内有两条相交直线B1D1和HD1都和平面BDF平行，
∴平面BDF∥平面B1D1H．
（2）∵O为AC与BD的交点，∴BD⊥AO．再由A1A⊥平面ABCD可得 A1A⊥BD．
故BD垂直于平面平面A1AO中的两条相交直线AO和A1A，∴BD⊥平面A1AO．
而BD⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面A1AO．
（3）取CD的中点M，连接EM，GM，则EM是△CBD的中位线，∴EM∥BD，由AC⊥BD 可得 EM⊥AC．
由GM和棱A1A平行可得GM⊥平面ABCD，GM⊥AC．
这样，AC垂直于平面EGM中的两条相交直线EM、GM，∴AC⊥平面EGM，∴AC⊥EG．
设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；
②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；
④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．
其中所有真命题的序号是______．
正确答案
若m⊥n，m⊥α，则n⊄α或n∥α，又由n⊄α则n∥α，故①为真命题；
若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则由面面垂直的性质定理我们易得到n⊥β，故②也为真命题；
若m⊥n，m∥α，则n与α可能平行也可能相交，再由n∥β，则α与β也可能平行也可能相交，故③为假命题；
若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，当m，n中一条与交线平行，一条与交线垂直时，n⊥m，故④为假命题；
故答案为：①②
设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ______．
①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α
正确答案
①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；
④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α，不正确，缺少条件m⊂β；
故答案为：②
关于直线m、n和平面a、b有以下四个命题：
①当m∥a，n∥b，a∥b时，m∥n；
②当m∥n，m Ì a，n⊥b时，a⊥b；
③当a∩b=m，m∥n时，n∥a且n∥b；
④当m⊥n，a∩b=m时，n⊥a或n⊥b．
其中假命题的序号是______．
正确答案
①当m∥a，n∥b，a∥b时，m∥n；m，n可能是相交直线，可能是异面直线，假命题．
②当m∥n，m Ì a，n⊥b时，a⊥b；可得a∥b，不是a⊥b，所以假命题．
③当a∩b=m，m∥n时，n∥a且n∥b；可能n在a或b内，假命题．
④当m⊥n，a∩b=m时，n⊥a或n⊥b．可能n与a、b相交，是假命题．
故答案为：①②③④
已知正三棱柱ABC-A1B1C1，D为棱CC1上任意一点，E为BC中点，F为B1C1的中点，证明：
（1）A1F∥平面ADE；
（2）平面ADE⊥平面BCC1B1．
正确答案
证明：（1）连接EF，∵E、F分别为BC、B1C1的中点，∴BE∥B1F，且BE=B1F，
∴四边形BEFB1为平行四边形，
∴EF∥BB1，EF=BB1，又BB1∥AA1，BB1=AA1，
∴EF∥AA1，EF=AA1
∴四边形AEFA1为平行四边形，∴AE∥A1F，
又AE⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
∴A1F∥平面ADE．
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1为正棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴AE⊥平面BCC1B1，又AE⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC1B1
ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
（1）求证：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（3）设二面角A-PC-B的大小为θ，试求tanθ的值．
正确答案
证明：（1）∵PA⊥面ABCD，
PA⊂平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：
∵O为BD的中点，则EO=
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
∴OB=
∴|cos∠EOB|=|
即异面直线PC与BD所成角的余弦值为
（3）过A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连接AE．则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=
在△PBC中，PB=
在Rt△PEF中，tan∠EPF=
在△PAF中，PF=
在△AEF中，cosθ=
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