热门试卷

如图，（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO

在△ABC1中，点D是AB的中点，点O是A1C的中点

∴BC1∥DO，BC1⊈平面CA1D，DO⊆平面CA1D

∴BC1∥平面CA1D

（2）∵AC=BC，D是AB的中点

∴CD⊥AB

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB

∴CD⊥平面AA1B1B，又CD⊂平面CA1D

∴平面CA1D⊥平面AA1B1B

（Ⅰ）因为PA⊥α，l⊂α，所以PA⊥l，同理PB⊥l．

又PA∩PB=P，所以l⊥平面PAB．

（Ⅱ）设l与平面PAB的交点为H，连接AH，BH．

因为l⊥平面PAB，所以AH⊥l，BH⊥l，

所以∠AHB是二面角α-l-β的平面角．

又PA=PB=AB，所以PA2+PB2=AB2，

即∠AHB=90°．

所以平面α⊥平面β．

（1）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1

又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．

而DE⊥AE．AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1，

又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．

（2）如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，

由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B1⊥C1D，

A1B1⊥DF又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF，

而AB∥A1B1，所以

AB⊥平面C1DF，又AB⊂平面ABC1，故

平面ABC1⊥平面C1DF．

过点D做DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．

连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．

由已知AB=AA1，不妨设AA1=，则AB=2，DF=，DC1=，

C1F=，AD==，DH===，

所以sin∠HAD==．

即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．

（1）证明：由SA=SB，E为AB中点得SE⊥AB．由SC=SD，F为CD中点得SF⊥DC．又AB∥DC，∴AB⊥SF．

又SF∩SE=S，∴AB⊥平面SEF．

又∵AB⊂平面ABCD，

∴平面SEF⊥平面ABCD．

（2）∵AB∥CD，CD⊂面SCD，

∴AB∥平面SCD．

又∵平面SAB∩平面SCD=l，

根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l．

（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，（1分）

∵EF∥BD且EF=BD，

∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，（2分）

∴BF∥EO，

又∵EO⊂面ACE，BF⊄面ACE，

∴BF∥平面ACE；（4分）

（Ⅱ）连接FO，

∵EF∥BD且EF=BD，

∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFOD是平行四边形．（6分）

∴ED∥FO，

∵ED⊥平面ABCD，

∴FO⊥平面ABCD（8分）

又∵BD⊂平面ABCD

∴BD⊥FO，

∵BD⊥AC，AC∩FO=O，AC、FO⊂平面AFC

∴BD⊥平面AFC（10分）

∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC，

∵EF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面EFC．（12分）

（Ⅰ）当F为BE的中点时，CF∥平面ADE…（1分）

证明：取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF

∴GF=AB，GF∥AB

又∵DC=AB，CD∥AB

∴CD∥GF，CD=GF

∴CFGD是平行四边形…（3分）

∴CF∥GD

∴CF∥平面ADE…（4分）

（Ⅱ）∵CF⊥BF，CF⊥AB

∴CF⊥平面ABE

∵CF∥DG

∴DG⊥平面ABE…（6分）

∵DG⊂平面ABE

∴平面ABE⊥平面ADE…（7分）

（Ⅲ）∵AB=BE

∴AE⊥BG

∴BG⊥平面ADE

过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE

则∠BMG为二面角A-DE-B的平面角…（9分）

设AB=BC=2CD=2，则

BG=，GE=

在Rt△DCE中，CD=1，CE=2

∴DE=

又DG=CF=

由DE•GM=DG•EG得GM=…（11分）

∴tan∠BMG==

∴面角A-DE-B的正切值…（12分）

（1）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，

且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，

∴在矩形ABCD中，BC⊥侧面PAB，

（2）在矩形ABCD中，AD∥BC，BC⊥侧面PAB，∴AD⊥侧面PAB，

又AD⊂平面PAD，∴侧面PAD⊥侧面PAB．

解．（1）∵平行六面体底面为正方形，∴A1A∥CC1，∴A1C1∥AC，

又O1，O分别为上下底面中心，∴A1O1∥CO，A1O1=CO，

∴四边形A1O1CO为平行四边形，∴CO1∥A1O．

A1在底面ABCD射影为O，∴A1O⊥平面AC，所以CO1⊥平面AC，

又CO1⊂平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD．

（2）过E作AC垂线，垂足为G，则EG∥A1O，∴EG⊥平面AC，

若要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需GF⊥BC，

∵底面ABCD为正方形，∴FG∥AB，

由A1E=AE，则OG=AG，∴====，

∴F为BC的三等分点，靠近B．

证明：如答图所示，取BC的中点D，连接PD、AD，

∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点

∴BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边

∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90°

∴PD⊥BC，PD⊥DA，PD⊥平面ABC

∴又PD⊂平面PCB

∴平面PCB⊥平面ABC．