- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求BE与平面PAC所成的角．
正确答案
（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，
∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．
∴ME∥CD，ME=
又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，
∴DF⊥PA．连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．
∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．
∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角．
∵O，E，分别是中点，∴OE=
∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO=45°，
即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2
（1）求证：平面EFB1⊥平面BDD1B1；
（2）求点B到平面B1EF的距离．
正确答案
（1）证明：∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，根据正四棱柱的性质EF⊥BB1，BD∩BB1=B，可知EF⊥平面BDD1B1，…（3分）
又EF⊂面B1EF，∴面EFB1⊥面BDD1B1…（7分）
（2）可知∴面EFB1⊥面BDD1B1，在平面BDD1B1中，作BH⊥B1G于为H，∵面EFB1⊥面BDD1B1，面EFB1∩面BDD1B1=B1G
∴BH⊥面B1EF，BH就是点B到平面B1EF的距离…（10分）
在Rt△B1BG中，B1B=4，BG=1，BH⊥B1G⇒BH=
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V．
正确答案
（Ⅰ）连接AC，∵BC=CD，AB=AD，
∴AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC
又BD⊂平面BDP
∴平面PBD⊥平面PAC
（Ⅱ）依题意得∠CBD=∠CDB=30°，
又BC⊥AB，CD⊥AD，
所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a，
∴BD=
∴△ABD是边长为
∴V=
=
如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱锥B-DOM的体积．
正确答案
（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．
又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴DO=
∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=
因此，OD2+OM2=8=DM2，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，
∴OD⊥平面ABC．
∵OD⊂平面DOM，
∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．
由OD=2，S△BOM=
所以VB-DOM=VD-BOM=
已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩
形，且AA1=3，设D为AA1的中点．
（1）作出该几何体的直观图并求其体积；
（2）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（3）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．
正确答案
（1）由题意可知该几何体为直三棱柱，它的直观图如图所示：
∵几何体的底面积S=
∴所求几何体的体积V=Sh=3
证明：（2）连接B1C交BC1于E点，则E为B1C，BC1的中点，连接DE
∵AD=A1D，AB=A1C1，∠BAD=∠DA1C1=90°
∴△ABD≌△DA1C1，
∴BD=DC1，
∴DE⊥BC1，
又∵B1C∩BC1=E，
∴DE⊥平面BB1C1C
又∵DE⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BB1C1C
（3）取BC的中点P，连接AP，则AP∥BDC1，
∴四边形APED为平行四边形
∴AP∥DE，
又∵DE⊂BDC1，AP⊄BDC1，
∴AP∥BDC1．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）求证：BF∥面PDE．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°
∴△ABD为正三角形E是AB的中点，DE⊥AB-----------------------------------（2分）
∵PA⊥面ABCD，DE⊂面ABCD
∴DE⊥AP-----------------------------------（4分）
∵AB∩AP=A
∴DE⊥面PAB
∵DE⊂面PDE
∴面PDE⊥面PAB-----------------------------------（6分）
（Ⅱ）取PD的中点G，连结FG，GE，-----------------------------------（8分）
∵F，G是中点，∴FG∥CD且FG=
∴FG与BE平行且相等，
∴BF∥GE-----------------------------------（10分）
∵GE⊂面PDE
∴BF∥面PDE．-----------------------------------（12分）
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BC上异于端点的点，
（1）证明△B1MN不可能是直角三角形；
（2）如果M，N分别是棱AB，BC的中点，
（ⅰ）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（ⅱ）若在棱BB1上有一点P，使得B1D∥面PMN，求B1P与PB的比值．
正确答案
（1）用反证法．如果△B1MN是直角三角形，
不妨设∠B1MN=
而B1B⊥面ABCD，MN⊂面ABCD，∴B1B⊥MN，B1B∩B1M=B1，∴MN⊥面ABB1A1，∵AB⊂面ABB1A1，（2分）∴MN⊥AB，即∠BMN=
（2）连接MN，设MN∩BD=Q则MN∥AC（5分）
∴AC⊥BD，MN⊥BD（7分）
又∵DD1⊥面ABCD∴DD1⊥MN
∴平面B1MN⊥面BDD1（9分）
（3）连接PM，PN则面PMN∩面BDD1=PQ（10分）
当BD1∥PQ时，BD1∥面PMN（11分）
又M，N分别是AB，BC中点
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
正确答案
由定理可知，BD⊥PC．
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．
故选DM⊥PC（或BM⊥PC等）
在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．
（1）求证：平面AD1E∥平面BGF；
（2）求证：平面AEC⊥面AD1E．
正确答案
证明：如图，
（1）∵E，F分别是棱BB1，DD1中点，∴BE∥D1F且BE=D1F，
四边形BED1F为平行四边形，∴D1E∥BF，
又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，∴BF∥平面AD1E；
又G是棱DA的中点，∴GF∥AD1，
又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面AD1E；
又BF∩GF=F，
平面AD1E∥平面BGF；
（2）∵AA1=2，AD=1，∴AD1=
同理AE=
∴AD12=D1E2+AE2，∴D1E⊥AE；
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BD1，又D1E⊂平面BD1，∴AC⊥D1E，
又AC∩AE=A，AC⊂平面AEC，AE⊂平面AEC．所以D1E⊥平面AEC；
又D1E⊂平面AD1E，∴平面AEC⊥面AD1E．
作等腰直角三角形ABC的斜边AB的中线CD，沿CD将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则折叠后AC与BC的夹角∠ACB的度数为______．
正确答案
如图所示：
折叠后∠ACD=∠BCD=45°，AD⊥CD，BD⊥CD，则∠ADB为二面角A-CD-B的平面角，
又平面ACD⊥平面BCD，所以∠ADB=90°，所以△ADB为等腰直角三角形，
设AD=1，则AC=BC=AB=
所以∠ACB=60°．
故答案为：600．
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