热门试卷

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F（x，y，0）．

∴，，．

∵，∴=y-1=0，解得y=1．

又∵=2，，取x＞0，把y=1代入解得x=，∴，∴．

==．

∴异面直线EF与BD所成角（锐角）的余弦值为；

（2）设平面DEF的法向量为，

则得，令x1=2，则，y1=0，

∴．

设平面ODF的法向量为=（x2，y2，z2），则，得，

令x2=1，则，z2=0．∴．

∴===．

∴sinθ==．

∴二面角O-DF-E的正弦值为．

（1）证明：设CC1=1，则B1C1=，BC=，∴B1B=，

∴B1M=，BM=，

由余弦定理可得CM=，

∴，

∴CM⊥B1B，

∵CC1⊥平面A1C1B1，

∴CC1⊥A1B1，

∵A1B1⊥C1B，

∴A1B1⊥平面BCC1B1，

∵CM⊂BCC1B1，

∴A1B1⊥CM，

∴CM⊥平面A1B1B；

（2）解：如图建立坐标系，设AA1=1，则A1（0，0，1），B（1，0，0），，C1（0，1，1），

，而，

∴，=，

设平面MA1A的法向量为，

则，

取x=1，y=-2，z=0，则，

由（1），CM⊥平面A1AB，而，可取为平面A1B1B的一个法向量，

∴．                      …（8分）

（3）解：多面体体积为

=．                        …（12分）

解：（I）由三视图可知四棱锥的高为，

∴

（Ⅱ）由题意可知，P点在平面ABCD的射影为BC的中点O，连接OD

在矩形ABCD中，DE∥BO，且DE=BO∴OD∥BE，且OD=BE

∵异面直面BE，PD所成角等于PD于DO的所成角

∵PO⊥平面ABCD且

又∵∴∠PDO=45°

∴异面直线BE，PD所成角的大小为45°

（Ⅲ）作CH⊥PD于H，连接EH，CE

又∵DE=DC，DH=DH

∴△EDH≌△CDH

∴

∴EH⊥PD∴∠EHC为二面角A-PD-C的平面角

在△CEH中，

∵

∴二面角A-PD-C的正弦值为

（1）证明：取PD的中点E，连接AE，NE，则四边形AMNE是平行四边形，

∴MN∥AE，

∵PA=BC=PD，E是PD的中点，

∴AE⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵CD⊥AD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE，

∵PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，

∴MN⊥平面PCD；

（2）解：由PD=AB=DC，N是PC的中点得：ND⊥PC，

又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND，

∴PC⊥MN∴MP=MC，

Rt△MPA≌Rt△MCB，

∴PA=BC=2，

即PA=AD=2，∠PDA=45°，

易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，

∴二面角P-CD-A的大小为45°．

证明：（Ⅰ）取PC中点M，连ME，MF

∵FM∥CD，FM=，AE∥CD，AE=

∴AE∥FM，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形

∴AF∥EM，

∵AF⊄平面PCE

∴AF∥平面PCE…（6分）

（Ⅱ）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH．

∵PA⊥平面ABCD，∴PH⊥CN（三垂线定理）

∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角…（8分）

∵AD=2，CD=3

∴CN=5，即EN=A=AD

∴PA=2，∴AH=

∴

∴二面角P-EC-A的正切值为．…（12分）

解：（1）如图，连接AC，BD交于点0，连接OE，则OE∥PA．

∵PA⊥底面ABCD，

∴OE⊥面ABCD．

∠EDO为DE与平面ABCD所成的角．（2分）

∵，

∴EDO=60°（4分）

（2）过点0作OF⊥AD于F，连接EF，由三垂线定理得EF⊥AD，

则∠EFO为二面角E-AD-C的平面角．（6分）

∵，

∴．（8分）

（3）过点O作OM⊥PC于M，由△COM～△CPA，得．（10分）

∵PC⊥OM，又PC⊥BD

∴PC⊥面MBD．

所以，所求M存在，且其位置使CM=．（12分）

解：（1）由题设条件知，棱锥的高为PA=2，

由底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，可解得底面四边形ABCD的面积是2×2×sin60°=2

故（4分）

（2）取AC的中点O，连接FO，

∵F为PC中点，

∴FO∥PA且，又PA⊥平面ABCD，

∴FO⊥平面ABCD．（6分）

过O作OG⊥AE于G，则∠FGO就是二面角F-AE-C的平面角．（8分）

由作图及题意可得FO=1，，

得tan∠FGO==2，即二面角的大小为arctan2（14分）

解：（1）在矩形ABCD中，AB=3，AD=，且EC=2DE，

∴DE=DC=1，

∴===

∠ADC=∠DCB=90°

∴Rt△ADE∽Rt△DCB，

∴∠EAD=∠BDC=30°，∠AED=∠DBC=60°，

∴∠DOE=90°，

即AE⊥OD，AE⊥OB，

又OD∩OB=O，

∴AE⊥平面DOB；

（2）∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，且OD⊥AE，OB⊥AE，

∴以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系O-，，，如图所示，

∴A（，0，0），B（0，，0），C（-，，0），

D（0，0，），E（-，0，0）；

∴=（-，0，-），=（2，0，0），（-1，，0）；

设平面DEA的法向量为=（x，y，z），

则，即，

取=（0，1，0）；

同理平面PAE的法向量为=（，1，-1），

∴二面角A-DE-B的余弦值为

cosθ=cos＜，＞==．

解：将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），

则求得：AD=2-t

则：V=t（2-t）=-（t-1）2+1

当t=1时，Vmax=1

即：长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，长方体恰好是正方体．

所以：建立空间直角坐标系A-xyz．正方体的棱长为1．

由于AB1⊥A1B，BC⊥AB1

所以：AB1⊥平面BA1C

所以：可以看做是平面BA1C的法向量．

所以：

同理：利用线面垂直得到

所以：

进一步求得：=，

所以根据图形知：二面角B-A1C-D的值为．

（2）建立空间直角坐标系A-xyz，则：C（t，2-t，0），A1（0，0，1），B（t，0，0），

D（0，2-t，0）

所以：，

假设在线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则设（λ＞0）

根据分点坐标公式：P（

求得：，

由于

所以：-t2+λ（2-t）2-1=0①

同理利用：

解得：-t2+（2-t）2=0②

所以：

解得：（负值舍去）

所以点P在的位置．