热门试卷

证明：（1）取CE的中点P，连结FP，BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE且FP=，

又AB∥DE，且AB=，

∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP，

∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，

∴AF∥面BCE；

（2）过F作FH⊥CE，连AH，设AB=1

则CE⊥面AFH，得CE⊥AH，

∵AF⊥CD，

∴∠AHF就是二面角A-CE-D平面角，

则AF=，FH=，

Rt△AFH中，，

即二面角A-CE-D的正切值．

解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，点E，F分别是棱BC，CD的中点，

∴建立空间直角坐标系如图：

则A（0，0，0），C1（2，2，2），D（0，2，0），B1（2，0，2），

B（2，0，0），C（2，2，0），F（1，2，0），E（2，1，0），

则=（2，-1，0），=（-1，2，-2），

则•=（2，-1，0）•（-1，2，-2）=-2-2=-4，

||=，||==3，

则cos＜，＞===-，

即直线DE与B1F所成角的余弦值为；

（2）设平面AEF的法向量为=（0，0，1），

设平面AEF的法向量为=（x，y，z），

则=（-1，1，0），=（0，-1，-2），

由得，

即，令z=1，则y=-2，x=-2，即=（-2，-2，1），

cos＜＞===，

即二面角C1-EF-A的余弦值为．

解：（1）连接PD，∵PA⊥α．∠ADC=90°

∴∠PDC=90°（三垂线定理）．

∠ADP为二面角α-l-β的平面角．

∴△PAD为等腰直角三角形．

∴二面角α-l-β为45°．

（2）设F为DP中点．连接AF，FN

则FN=DC=AM．FN∥DC∥AM．

∴FNMA为平行四边形

∴MN∥AF，

∵l⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴l⊥AF，

∴l⊥MN，

∴异面直线MN与l所成的角的大小为90°．

解：（I）过G作GM∥CD交CC1于M，交D1C于O，连接BO．

∵G为DD1的中点，∴O为D1C的中点

从而GO

故四边形GFBO为平行四边形…（3分）

∴GF∥BO

又GF⊄平面BCD1，BO⊂平面BCD1

∴GF∥平面BCD1． …（5分）

（II）过A作AH⊥DE于H，过H作HN⊥EC于N，连接AN．

∵DC⊥平面ADD1A1，

∴CD⊥AH．

又∵AH⊥DE，

∴AH⊥平面ECD．

∴AH⊥EC． …（7分）

又HN⊥EC

∴EC⊥平面AHN．

故AN⊥CE，

∴∠ANH为二面角A-CE-D的平面角 …（9分）

在Rt△EAD中，∵AD=AE=1，∴AH=

在Rt△EAC中，∵EA=1，AC=，∴

∴…（12分）

（1）证明：因为AA1D1D为正方形，所以A1D⊥AD1，

．

又B1E⊂面A1B1CD⇒AD1⊥B1E．

（2）解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（2，0，1），E（1，1，0），

所以，

设=（x，y，z）为面AB1E的一个法向量，则，即，

取面AB1E的一个法向量为，

同理可取面A1B1E一个法向量为，

设二面角A-B1E-A1为α，则，

，即二面角A-B1E-A1的大小为．

解：AD⊥平面CDC1

则AD⊥平面BCC1B1，

∵AD⊂平面ADC1，

∴平面ADC1⊥平面BCC1B1．

（2）∵C1D⊥AD，CD⊥AD，

∴∠CDC1为二面角的平面角，

在Rt△C1CD中，∵，

∴，

∴二面角C1-AD-C的大小为600．

解：在正四面体A-BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，

则∠AED就是二面角A-BC-D的平面角，在等腰三角形AED中，可求得cos∠AED=，

∴二面角A-BC-D的余弦为＜，二面角A-BC-D∈（，），

设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈（，），

∴过点P可作4条直线同时与直线m，n成，

即符合题意的平面有4个．