热门试卷

证明：（Ⅰ）∵在△ABP中，D为AB的中点，E为AP的中点，

∴DE∥BP，

∵DE⊄平面PBC，BP⊂平面PBC，

∴DE∥平面PBC；

（Ⅱ）∵PD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴PD⊥AB，

∵在△ABC中，AC=BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∵PD∩CD=D，

∴AB⊥平面PCD，

∵PC⊂平面PCD，

∴AB⊥PC．

解：（I）当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，

取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①

由EM=PE=ED，知E是MD的中点．

连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．

所以BM∥OE．②

由①、②知，平面BFM∥平面AEC．

又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．

（II）作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．

作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为EAC与DAC为面的二面角的平面角．

又PE：ED=2：1，所以EG=，AG=，

GH=AGsin60°=．

从而tanθ==，∴θ=30°．

∵PA=AC=2，PB=PD=，

∴PA⊥AB，PA⊥AD

∵AB∩AD=A

∴PA⊥平面ABCD

∴平面PAC⊥平面ABCD

∴二面角P-AC-E的平面角的大小为EAC与DAC为面的二面角的平面角的余角

∴二面角P-AC-E的平面角的大小为60°

（1）证明：取A1B1的中点M，AA1的中点为N，由单位正方体的性质有QM∥A1D1 ，QM=A1D1．

同理可证PN∥A1D1 ，PN= A1D1．故QM和PN平行且相等，故QMNP为平行四边形，∴PQ∥MN．

而MN⊂平面AA1B1B，PQ不在平面AA1B1B 内，故PQ∥平面AA1B1B．

（2）在Rt△A1MN 中，由勾股定理可得MN===，

∴PQ=．

证明：（I）在长方体中，A1B1⊥面BC1，

B1C为A1C在面BC1内的射影，

BF⊂面BC1，

且BF⊥B1C，∴A1C⊥BF．（3分）

证明（II）∵AB=BC=3，BB1=3，

在Rt△B1BC中，B1C=3，∵BF⊥B1C于E，∴BC2=CE•CB1，得CE=，

由△BB1E∽△FCE得，即F为C1C的中点．（7分）

连接AC交BD于O，则O为AC中点，连接OF，则OF∥AC1，∵AC1⊄面BDF，OF⊂面BDF，∴AC1∥平面BDF．（9分）

解（III）在长方体中，C1C⊥面AC，OC为OF在面AC上的射影，BD⊂面AC，且BD⊥AC，∴BD⊥OF，

∴∠FOC为二面角F-BD-C的平面角．（11分）

在Rt△ABC中，OC=，∴OC=CF，∴∠FOC=45°

∴二面角F-BD-C的大小为45°（13分）

（Ⅰ）证明：如图，连接AC交BD于点F，连接EF，

则由题在△ACC1中，EF是两边CC1、AC上的中位线，

∴EF∥AC1…（4分）

又∵EF⊂面DBE

∴AC1∥面DBE…（6分）

（Ⅱ）解：由题…（8分）

而在三棱锥D-B1BE中，，高为正方体的棱长，

∴，即．…（12分）