热门试卷

证明：（1）由ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A1C1⊥B1D1，

又A1A⊥平面A1B1C1D1，所以A1A⊥B1D1

又AA1∩A1C1=A1，

由线面垂直的判定定理，有B1D1⊥平面A1ACC1，

而A1C⊂平面A1ACC1，

所以A1C⊥B1D1；

（2）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1，

由ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AC∥A1C1，且O1C1=AO=AC，

即四边形OCC1O1是平行四边形，

所以AO1∥OC1，

又AO1⊂平面AB1D1，OC1⊄平面AB1D1，

则C1O∥面AB1D1．

证明：（1）取AB的中点G，连接FG，可得FG∥AE，FG=AE，

又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

∴CD∥AE，CD=AE，

∴FG∥CD，FG=CD，

∵FG⊥平面ABC，

∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，

CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，

∴DF∥平面ABC．

（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，

F为BE中点，∴AF⊥BE，

∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，

∴DF⊥AB，

又DF⊥FG，

∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，

∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

解（I）如图所示．

（II）证明，取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN、ME，∵PM=CM，AN=CN∴∥PA

∴MN=EB，MN∥EB，故BEMN为平行四边形．

∴EM∥BN，又EM⊂平面PEC，BD⊄面PEC，∴BD∥平面PEC．

（III）

证明：如图，

∵四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，∴AB∥CD，

又∵E，F分别为AB，CD的中点，∴CF∥AE，

∴四边形AECF为平行四边形．

∴AF∥EC．

又AF⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

解：（I）证明：记BC1与CB1交于点O，连OD

∵OD是△ABC1的中位线，∴OD∥AC1     

∵AC1⊄面CDB1OD⊂面CDB1

∴AC1∥平面CDB1；

（II）由（I）知OD∥AC1

∴∠COD为异面直线AC1与B1C所成的角，

∵在Rt△ACC1中，AC=3，CC1=4∴AC1=5∴OD=，

在正方形CBB1C1中，B1C=4，∴OC=2，

∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，∴CD==，

在△COD中，cos∠COD==．

证明：（1）如图所示，连接AC交BD于O，连接MO．

在△PAC中，OM为中位线，∴OM∥PA．

∴

∴PA∥平面MDB．

（2）令NC∩MO=Q．连接PO．

∵此四棱锥P-ABCD是正四棱锥，∴PO⊥底面ABCD．

在Rt△AOP中，=2．

同理PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA=2．

∵M是PC中点，∴在△PDC中，DM⊥PC．

同理，在△PBC中，BM⊥PC．

在平面BMD中，BM∩DM=M．

∴PC⊥平面MDB．

∴∠CQM为CN与平面MBD所成角的平面角．

∵M是线段PC的中点，∴MC=1．

由（1）可知：PA∥平面BMD，平面PAC∩平面BMD=OM．

∴PA∥MO，

又∵PM=MC，∴OM是△PAC的中位线，∴MQ=PN=．

在Rt△CMQ中，tan∠CQM==2．

CN与平面MBD所成角的正切值是2．

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，

∴AD⊥B1B．

∵BC∩B1B=B，

∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F⊂平面B1BCC1，

∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，

∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．

∴∠B1FD=90°，

∴B1F⊥FD．

∵AD∩FD=D，

∴B1F⊥平面ADF．

（2）取B1C1中点为D1，在 C1D1上取点E，使，连接PE，EF．

∵，

又A1D1∥AD，

∴PE∥AD，

∵AD⊂面ADB1，PE⊄面ADB1

∴PE∥面ADB1

∵CF=2，CC1=3

∵，

∵DB1⊂面ADB1，EF⊄面ADB1

，

∵，

∵，

∴平面PEF∥面ADB1．

∵PF⊂平面PEF

∴PF∥面ADB1．

（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE．

∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，

且E为BC中点．又AD=2DP，

∴DO∥PE，--------------（2分）

∵DO⊄平面PBC，PE⊂平面PBC

∴DO∥面PBC．--------------（4分）

（Ⅱ）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，

又平面PBC⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC，--------------（5分）

由（Ⅰ）知，DO∥PE，

∴DO⊥平面PBC，

∴DO⊥AC--------------（6分）

连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，

∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．--------------（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，

所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则------------（9分）

∴

设平面BDM的法向量为，则，

令y=1，则．--------------（10分）

由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，

∴为平面DBO的法向量，

∴，

由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为．--------------（12分）

解：（I）连接C1D，交CD1于O，连接OE

∵四边形C1D1DC是矩形，∴O为C1D的中点

∵△B1DC1中，E为B1C1中点，

∴OE是△B1DC1的中位线，得OE∥B1D

∵OE⊂平面CED1，DB1⊄平面CED1，

∴DB1∥平面CED1；

（II）连接AB1，过A1作A1M⊥AB1，垂足为N，交BB1于M

∵矩形AABB中，∠AA1B1=∠A1B1M，∠A1AB=∠B1A1M

∴△A1AB1∽△B1A1M，得，可得=AA1•B1M，B1M==

∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面A1B1BA，A1M⊂平面A1B1BA，

∴A1M⊥AD

∵A1M⊥AB1，AD与AB1是平面AB1D内的相交直线

∴A1M⊥平面AB1D，结合DB1⊂平面AB1D，得A1M⊥DB1，

因此侧棱BB1是否存在一点M，当B1M=时，满足A1M⊥DB1．