热门试卷

证明：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．

又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，

又AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．

（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．

由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O-xyz．

其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．

不妨设AB=2，则A（2，-1，0），B（0，-1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）．

=（-2，0，0），=（-2，1，），．

设=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则•=0，•=0，

即取z1=-1，得=（0，，-1）．

设=（x2，y2，z2）为面ACA1的法向量，则•=0，•=0，

即取x2=，得=（，0，2）．

所以cos〈n1，n2＞==-．

因此二面角B-AC-A1的余弦值为-．

证明：（1）连结OG，

则O为CE的中点，

∵G是A′E的中点，

∴OG是△A′CE的中位线，

∴OG∥A′C，

∵A′C⊄平面BDG，GO⊂平面BDG，

∴A′C∥平面BDG．

（2）取BC的中点H，连结A′H，

在正三角形锥A′BC中，A′H⊥BC，

若三棱锥A′-BCE的体积最大，则满足A′H⊥平面BCE，

以H为坐标原点，分别以HB，HO，HA′为x，y，z轴建立空间坐标系如图，

∵AB=2，CD=2，

∴BH=1，HO=，A′H=，

则H（0，0，0），A′（0，0，），C（-1，0，0），B（1，0，0），F（，0，），O（0，，0）

则平面BCED的法向量为=（0，0，1），

设平面CEF的法向量为=（x，y，z），

则=（1，，0），=（-，，），

则，

令y=，则x=-3，z=3，即=（-3，，3），

则cos＜，＞====，

即平面BCE与平面CEF的夹角的余弦值为．

解：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，FC1⊥平面A1B1C1，故FC1=2是三棱锥A1-B1C1F的高．

而直角三角形的===2．

∴三棱锥A1-B1C1F的体积===．

（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，

∴四边形A1ECF是平行四边形，

∴A1C∥EC，

∴∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角．

∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2．

∴△BCE是等边三角形．

∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A1F所成的角．

解：（1）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∵AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC，

又AC⊥C1C，C1C∩BC=C

∴AC⊥平面BCC1；

∴AC⊥BC1

（2）=-=20

（3）由题意可得：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

∵AC=3，BC=4，AA1=4，

∴C（0，0，0），，B1（0，4，4），

∴，

平面CBB1C1的法向量，

设平面DB1C的法向量，

则，的夹角的补角的大小就是二面角D-CB1-B的大小

则由解得

所以，

则

∴二面角D-B1C-B的正切值为