热门试卷

解：（1）如图，

∵三棱柱ABC-ABC中，AA1⊥面A1B1C1，

∴平面BCC1B1⊥平面A1B1C1，

又AC=AB=1，∠BAC=90°，

∴Rt△A1B1C1 斜边上的高即为A1 到平面BCC1B1 的距离，等于．

∵A1F与平面ABC所成的角为45°，即∠FA1C1=45°，则C1F=A1C1=1，

又F为CC1的中点，∴CC1=2，

在Tt△B1BE中，，∴，

在Tt△CEF中，CE=，CF=1，EF=，

在Rt△B1C1F中，．

∵，∴△B1FE为Rt△，

则．

∴=；

（2）取AC中点G，连接EG，则EG∥A1B1，

∵A1B1⊥面AA1C1C，∴∠GA1F即为二面角E-A1B1-F的平面角．

在Rt△A1AG中，∵，∴，

在Rt△A1C1F中，∵A1C1=1，C1F=1，∴，

在Rt△GCF中，∵CG=，CF=1，∴GF=．

∴=．

解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图所示，是一个正四棱锥，其高为，底面边长为2． 

（II）①证明：连接AC，BD交于点O，连接OG，

∵G为PB的中点，O为BD的中点，

∴OG∥PD．

又OG⊂面AGC，PD⊄面AGC，

∴PD∥面AGC．

②连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，

∴AO⊥PO．  

又AO⊥BO，PO∩OB=O．

∴AO⊥面PBD．

∵AO⊂面AGC，∴面PBD⊥面AGC．

③建立如图所示坐标系，由三视图知，PO=，AB=2，AC=2，AO=，

∴P（0，0，），B（0，，0），A（，0，0），

C（-，0，0），，

设面PBA的法向量为n=（x，y，z）

∴

令x=1得y=1，z=1．

∴n=（1，1，1）

设面PBC的法向量为m=（x‘，y'，z'）

∴

令x'=1得y'=-1，z'=-1∴m=（1，-1，-1）．

设面PAB与PBC的夹角为θ，

则=．

∴面PAB与PBC的夹角为余弦值为．

解：（Ⅰ）线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：

取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，FP=AC，

取AC的中点M，连接EM、EC，

∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．

∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=AC．

又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，

∴四边形EFPD是平行四边形，∴DP∥EF，

∵EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，

∴DP∥平面EAB；

（Ⅱ）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，

∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．

∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，

又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，

∴∠DGC是所求二面角的平面角．

设AB=AC=AE=2a，则CD=a，GC=2a，

∴GD==a，

∴cosθ=cos∠DGC==；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，ED=1，DC=，∴S△CDE==

∵直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°

∴AB⊥平面ACDE

∴三棱锥C-BDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积等于=．

解：（1）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，则PA⊥DE

若PE⊥ED，则DE和面PAE内相交的两直线均垂直

∴DE⊥面PAE，故DE⊥AE．

在底面的平行四边形ABCD 中，令BE=x

在△ABC中，∠ABC=60°．

于是AE2=1+x2-x

在Rt△AED中，由AD2=AE2+DE2可知：x=1或x=2

依题意x=1，于是有EC=1

（2）过点E作EM⊥AD于M，过M作MN⊥PD于N，连接EN

∵PA⊥底面ABCD

∴面PAD⊥底面ABCD

又EM⊥AD，

∴EM⊥面PAD

由三垂线定理知：∠ENM为所求二面角的平面角

过点C作CQ⊥AD于Q

易知

∴

∴

在Rt△EMN中

∵

∴∠ENM=45°

故所求二面角的大小为45°

（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA      

因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．

因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．

因为OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC；

（Ⅱ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，

因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以BC⊥AC

因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC

因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB；

（Ⅲ）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间坐标系．

因为∠=30°，==2，所以=2cos30°=，=1．

延长交于点．

因为∥，

所以⊥，=，==．

所以（1，0，2），（0，0，0），（0，，0），（，，0）．

所以=（-1，0，-2），=（-1，，-2）．

设平面的法向量=（，，）．

所以

令=1，则=-2，=0．

所以=（-2，0，1）．

同理可求平面的一个法向量=（1，，1）．

所以cos=0.2．

解：（1）分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图的坐标系，

∵AD=AA1=1，AB=2，

∴A（1，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），C（0，2，0）．

设E（1，t，0），

则，，

∵•=（1，t，-1）•（-1，0，-1）=-1+1=0，

∴⊥，

即D1E⊥A1D．

（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），，，

设面ECD1的法向量为，由，

即，令y=1，则z=2，x=1，即．

∵，

∴点A到面ECD1的距离d=．

（3）设AE=t，则E（1，t，0），设面D1EC的法向量为，则，.，，

由，得

令y=1，则z=2，x=2-t．，即，

面ECD的法向量为，

则由二面角D1-EC-D的大小为．

得cos==，即，

解得t=2+（不合题意，舍去），或t=2-．

∴当AE=2-时，二面角D1-EC-D的大小为．

证明：（1）∵D，E分别是AB，PB的中点

∴DE∥PA

又∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC

∴DE∥平面PAC；

（2）∵PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，

∴PC⊥AB

又∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC

∴AB⊥平面PBC

又∵PB⊂平面PBC

∴AB⊥PB；

解：（3）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，

∴∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角

∵PC=BC，∠PCB=90°

∴∠PBC=45°

∴二面角P-AB-C的大小为45°