热门试卷

解：（1）由D1E与EC垂直⇒DE与CE垂直

设AE=x，在直角三角形DEC中求得x=1

所以点E是AB的中点

取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以∠D1AQ是所求的角

求解△D1AQ得∠D1AQ=

异面直线AD1与EC所成的角为 ． 

（2）由D1E⊥EC，∴DE与CE垂直，

所以∠D1ED是所求D1-EC-D的平面角在直角三角形D1ED 中，tan∠D1ED=

解：（1）在平面ABCD中，

在Rt△BAC中，

∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，

∴BC=，AC=2；

在Rt△DAC中，

∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，

∴CD=2，AD=4；

故底面ABCD的面积为S=×1×+×2×2=；

VP-ABCD=×S×PA=××2=．

（2）如图，取AD、AC的中点F，G，

连结EF，FG，EG；

则EF∥PA，

又∵PA⊥底面ABCD，

∴EF⊥底面ABCD，

又∵FG∥CD，CD⊥AC，

∴FG⊥AC，

∴∠EGF为二面角E-AC-D的平面角，

在Rt△EFG中，

EF=PA=1，GF=CD=，

∴tan∠EGF==，

∴∠EGF=30°；

即二面角E-AC-D的大小为30°．

（1）证明：如图1，取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，

所以BF∥CD且BF=/CD，

所以四边形BCDF为平行四边形，

所以DF∥BC．

在△PAB中，PE=EA，AF=FB，

所以EF∥PB．

因为DF∩EF=F，PB∩BC=B，

所以平面DEF∥平面PBC．

因为DE⊂平面DEF，

所以DE∥平面PBC．

（2）取AD的中点O，BC的中点N，连接ON，OP，

则ON∥AB．

在△PAD中，PA=PD=AD=2，

所以PO⊥AD，PO=．

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD．

如图2，以O为坐标原点，分别以OA，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则O（0，0，0），A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，），B（1，4，0），

所以=（2，4，0）．因为E为PA的中点，所以E（，0，），

故=（，0，）．

易知=（0，0，-）为平面ABD的一个法向量．设平面EBD的法向量为=（x，y，z），

由，得，

令y=-1，则x=2，z=-2，

所以=（2，-1，-2）为平面EBD的一个法向量．

所以cos＜，＞==．

设二面角EBDA的大小为θ，知θ∈（0，），

所以cos θ=，即二面角EBDA的余弦值为．

（1）证明：∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD

∵PA⊥底面ABCD，

∴BA⊥PA．

又∵PA∩AD=A，

∴BA⊥平面PAD．

∵PD⊂平面PAD．

∴PD⊥BA．

又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，

∴PD⊥平面BAE，

∴PD⊥BE，即BE⊥PD；

（2）解：过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．

∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角．

∴∠PDA=30°．

∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a

∴PA=，PD=．

∴AE===a．

∵PE==，CD=a．

∴ME==．

连接AC

∵在△ACD中AD=2a，AC=a，CD=a，

∴AD2=AC2+CD2

∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．

∴ME⊥平面PAC．

∵MA⊂平面PAC，

∴ME⊥AM．

∴在Rt△AME中，cos∠MEA==．

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为；

（3）解：延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB与面PCD的交线为PG，CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，

∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角，

∵CB∥AD，

∴GB=AB=a，∠PDA=30°，PA=a，AG=2a．

∴∠PGA=30°，

∴BF=GB=，

∴FC==a，

∴cos∠BFC==．

∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为．

（1）证明：取PC的中点M，连接EM，

∵△PCE中，E、M分别为PD、PC的中点

∴EM∥CD，EM=DC，

又∵CD∥AB且AB=DC，

∴EM∥AB，EM=AB，

∴四边形ABME是平行四边形．

∴AE∥BM，

∵AE⊄平面PBC，AE⊂平面PBC

∴AE∥平面PBC；

（2）证明：∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，

∴CD⊥平面PBC，

∵BM⊂平面PBC，∴CD⊥BM．

∵在正△PBC中，M是PC中点，∴BM⊥PC，

∵CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PDC，

∴BM⊥平面PDC，

又∵AE∥BM，∴AE⊥平面PDC

∵AE⊂平面ADP，

∴平面ADP⊥平面PDC；

（3）解：设BC=2a，则△PAD中，AD=AP=a，PD=4a，∴AE=a，∴S△PAD==

∵=

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为=

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD

∵CD⊥AD，PA∩AD=A

∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PDC，

∴平面PDC⊥平面PAD；（4分）

（2）证明：取PD中点F，连接EF，AF，则

∵E为PC中点，

∴EF∥CD，EF=

∵AB⊥AD，CD⊥AD，AB=CD，

∴EF∥AB，EF=AB

∴四边形EFAB是平行四边形

∴BE∥AF

∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD；（8分）

（3）解：连AC，取AC的中点G，连接EG，则EG⊥平面ABCD，

过G作GH⊥BD，H为垂足，连接EH，则∠EHG为二面角E-BD-C的平面角．（10分）

设，则可求得，

∴=

∴（12分）．