热门试卷

（1）证明：由于EC∥BD，BD⊥平面ABC，则BD⊥BC，EC⊥BC，

由于tan∠DFB=，tan∠CFE==，

则tan∠DFB•tan∠CFE=1，即有∠DFB+∠EFC=90°，则∠DFE=90°，即DF⊥EF

在直角△ABC中，AF=2，而DF=，AD=，

则有DF⊥AF，

有线面垂直判定定理得，DF⊥平面AEF；

（2）解：由于DF⊥平面AEF，则∠DAF即为DA与平面AEF所成的角，

在直角三角形ADF中，AD=4，AF=2，则cos∠DAF=，

即有∠DAF=60°，则DA与平面AEF所成的角为60°；

（3）解：在△ACF中，过C作CH⊥AF，交于H，连接EH，

由于EC⊥平面ABC，则EC⊥AF，即有AF⊥平面ECH，

即有AF⊥EH，∠EHC的补角即为二面角B-AF-E的平面角，

在三角形ACF中，CH=4sin45°=2，

在直角三角形ECH中，EH==2，

cos∠EHC===．

即有二面角B-AF-E的余弦值为-．

解：（Ⅰ）取AA1中点P，连接PM，PN．则MP⊥面ADD1A1．

所以∠PNM为直线MN与平面ADD1A1所成的角．…（2分）

在Rt△PMN中，易知PM=1，，

∴tan∠PNM=，∠PNM=arctan2．

故直线MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2．…（6分）

（Ⅱ）∵N是A1D的中点，M是BB1的中点，

∴A1N=AN，A1M=AM．

又MN为公共边，∴△A1MN≌△AMN．

在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A1G，

则∠A1G A即为二面角A-MN-A1的平面角．…（8分）

在△AMN中，易知AN=MN=，AM=，从求得．

在△A1G A中，AA1=2，A1G=GA=，

∴cos∠A1G A=-．…（12分）

（1）证明：连接BC1交B1C于E，连接DE，∵BC⊥CC1，

∴四边形BB1C1C为矩形，∴E为BC1的中点，

∴DE∥AC1，∴AC1∥平面CDB1．

（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设|BC|=2．

则A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B1（0，2，2）．

∴，．

设平面B1CD的法向量，则，

令y=-1，则x=1，z=1．

∴．

取平面BB1C的法向量，

∴==．

（Ⅰ）证明：【法一】如图，取PA中点M，连接CM、BM．

∵PC=AC，PB=AB，∴CM⊥PA，BM⊥PA，…（3分）

又CM∩BM=M，∴PA⊥平面BMC，BC⊂平面BMC，∴PA⊥BC． …（6分）

【法二】由知，△ACB、△ACP、△BCP都是等腰直角三角形，CA、CB、CP两两垂直，…（3分）

∴BC⊥平面ACP，PA⊂平面ACP，∴PA⊥BC． …（6分）

（Ⅱ）解：取AB中点H，连接CH、PH．

∵AC=BC，PA=PB，∴CH⊥AB，PH⊥AB，

∴∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角  …（9分）

∵，∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，∴△ACB是等腰直角三角形．

设BC=a，则在△PHC中，，，PC=a，…（12分）

∴PH2=PC2+CH2，∴∠PCH=90°．

在△PCH中，．

∴二面角P-AB-C所成角的余弦值为．…（14分）

证明：（1）取AC中点O，连OB．

在平面ACC1A1上过O作AC垂线交A1C1于N．

∵平面ACC1A1⊥平面ABC．

∴ON⊥平面ABC，

如图：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系

由已知：A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），A1（2，0，5），B1（0，2，5），C1（-2，0，5），M（0，2，m），…（3分）

设=（x，y，z）为平面A1MC法向量

，，

取x=5，z=-4，y=2m-5，

即：=（5，2m-5，-4），

又=（0，1，0）为平面ACC1A1法向量

依题意：，解得m=

∴M为棱BB1的中点                                    …（8分）

（2）由（1）知：=（5，2m-5，-4）为平面A1MC法向量

又=（0，0，1）为平面ABC法向量

∴cos＜＞==-，

∴平面A1MC与平面ABC所成锐二面角余弦值为．…（12分）

（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，

∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB…（2分）

又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，

∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB…（4分）

又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，

又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC    …（6分）

（Ⅱ）解：∵ABCD为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，

∴PO=1，CO=，∴OP2+OC2=PC2，

∴OP⊥OC，

以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，-1，0），B（0，1，0），C（，0，0），

P（0，0，1），D（，-2，0），

=（，-1，0），=（），=（0，2，0），

设平面DCP的法向量=（x，y，z），

则，令x=1，得=（1，0，），

设平面PCB的法向量=（a，b，c），

，令a=1，得=（1，），

cos＜＞==，

∵二面角B一PC-D为钝角，∴二面角B一PC-D的余弦值为-．

解：（Ⅰ）过点P作PO⊥AB于O，连接OC．

由平面PAB⊥平面ABC，知PO⊥平面ABC，

即∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．…（2分）

因为∠APB=90°，∠PAB=60°，

不妨设PA=2，则OP=，AO=1，AB=4．

因为AB=BC=CA，所以∠CAB=60°，

所以OC=．

在Rt△OCP中，tan．

即直线PC与平面ABC所成的角的正切值为．…（6分）

（II）过C作CD⊥AB于D，由平面PAB⊥平面ABC，知CD⊥平面PAB．

过点D作DE⊥PA于E，连接CE，据三垂线定理可知CE⊥PA，

所以，∠CED为二面角B---AP---C的平面角．…（9分）

由（1）知AB=4，又∠APB=90°，∠PAB=60°，

所以CD=，DE=．

在Rt△CDE中，tan

故二面角B-AP-C的正切值为2…（13分）

解：（Ⅰ）存在．当P为DE的中点时，满足PQ∥平面AEB．…（1分）

取AB的中点M，连结EM，QM．

由Q为AC的中点，得MQ∥BC，且，…（2分）

又PE∥BC，且，

所以PE∥MQ，PE=MQ，

所以四边形PEMQ为平行四边形，…（3分）

故ME∥PQ．…（4分）

又PQ⊄平面AEB，ME⊂平面AEB，

所以PQ∥平面AEB．   …（5分）

从而存在点P，使得PQ∥平面AEB，此时．…（6分）

（Ⅱ）由平面AEB⊥平面BCDE，交线为BE，且AE⊥BE，

所以AE⊥平面BCDE，又BE⊥DE，…（7分）

以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系（如图2），则E（0，0，0），B（3，0，0），A（0，0，3），P（0，2，0），

C（3，3，0）．…（8分）

=（3，1，0），=（0，-2，3）．…（9分）

平面AEB的一个法向量为n1=（0，1，0），…（10分）

设平面APC的法向量为n2=（x，y，z），

由得…（11分）

取y=3，得n2=（-1，3，2），…（12分）

所以，

即面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为．…（13分）