热门试卷

解：（1）连接AC、BD交于点H，连接EH．

∵BH=DH，PE=EB，∴EH∥PD，

∴∠AEH为异面直线PD与AE所成的角，

∵EH=PD=，

AH=AC=a，

∴tan∠AEH==，即异面直线PD与AE所成角的正切值为．

（2）设F为AD的中点，连接EF、HF．∵H、F分别为BD、AD的中点，∴HF∥AB，故HF⊥BC，又EH⊥BC，∴BC⊥平面EFH，因此BC⊥EF．

又PF2=PD2+DF2=a2，BF2=AB2+AF2=a2，

E为PB的中点，∴EF⊥PB．∴EF⊥平面PBC，即点F为AD的中点时满足题意．

（3）∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．

又CD⊥BC，∴PC⊥BC．取PC的中点G，连接EG，则EG∥BC，∴EG⊥PC，连接FG．

∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，∴FG⊥PC．∴∠FGE为二面角F-PC-E的平面角，

∵EG=BC=，

EF===a，

∴tan∠FGE==，

∴二面角F-PC-E的正切值为．

解：（I）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1

∴四边形BB1D1D是平行四边形，可得B1D1∥BD

∵B1D1⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，

∴B1D1∥平面BC1D；

（II）连结AC，交BD于O，连结C1O

∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴CC1⊥BD

又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，CC1∩AC=C

∴BD⊥平面AA1C1C

结合C1O⊂平面AA1C1C，得BD⊥C1O

因此∠C0C1就是二面角C1-BD-C的平面角

设正方体的棱长为1，

则RtC0C1中，CC1=1，C0=

∴tan∠C0C1==，即二面角C1-BD-C的正切值等于．

证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PD⊥BC

∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，PD∩CD=D

∴BC⊥平面PCD

∵DE⊂平面PCD

∴BC⊥DE

又由PD=DC=1，

∴E为PC的中点；

解：（2）∵DE=，AD=，AE=，由余弦定理可得：

∠ADE=

故S△ADE=•AD•DE•sin∠ADE=

设P点到平面ADE的距离为d

则VP-AED=VA-PDE=

则d=

又∵PE⊥DE，设二面角P-DE-A的大小为θ，则sinθ==

故二面角P-DE-A的大小为arcsin

解：（1）取BC中点O，连接AO，DO，则∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C成角，

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，

∴AO==，

∵D是侧棱CC1中点，直线AD与侧面BB1C1C成角为45°，

∴CD==，

∴CC1=2DC=2．

（2）以OC为x轴，以过O点平行于CC1的直线为y轴，以OA为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0），

∴，=（1，，-），

设=（x，y，z）是平面ABD的一个法向量，则=0，，

∴，解得=（，-，-1）

设二面角A-BD-C的平面角为θ，

∵面BCD的一个法向量是=（0，0，），

∴cosθ=|cos＜，＞|=||=．

∴tanθ=3．

故二面角A-BD-C的正切值为3．

解：（1）设AC交BD于O，则

∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D

∴AC⊥平面PBD

作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB

∴∠OFA是二面角A-PB-D的平面角

∵AB⊥PB，PA=，AB=a，PB=a

∴AF==

∴sin∠OFA==

∴∠OFA=60°

∴二面角A-PB-D的平面角是60°；

（2）当E是PB中点时，PC⊥平面ADE．

证明：取PC的中点H，连接EH，DH，则EH∥BC

∴EH∥AD，故平面ADE即平面ADHE

∵AD⊥CD

∴AD⊥PC

∵PC⊥DH，AD∩DH=D

∴PC⊥平面ADHE

∴PC⊥平面ADE．

解：（Ⅰ）取PC、PD的中点F、G，连接EF、FG、AG．

∵PA⊥面ABCD，CD⊂面ACBD，

∴PA⊥CD，

∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，

又∵AG⊂面PAD，∴CD⊥AG．（2分）

∵AG是等腰Rt△PAD斜边PD上的中线，

∴AG⊥PD，（3分）

∴结合 PD∩AD=D，可得AG⊥面PCD．（4分）

∵FG是△PCD的中位线，

∴FG∥CD且FG=CD，

又∵平行四边形ABCD中，AE∥CD且AE=CD，

∴FGAE，即四边形AEFG为平行四边．

∴EF∥AG，（6分）

∴EF⊥面PCD，（7分）

又∵EF⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD，

即二面角E-PC-D为直二面角．（8分）

（Ⅱ）如图，在RT△PCD中DH⊥PD，垂足为H．

∵面PEC⊥面PCD，且DH垂直于它们的交线，

∴DH⊥面PCE，即DH的长度为点D到面PEC的距离．（10分）

在RT△PCD中，，

∴，

即点D到面PEC的距离．（12分）

（1）证明：连接AD1，

∵C1C⊥面ABCD，D1D⊥面ABCD，

∴C1C∥D1D，

∵C1C=D1D=2，

∴四边形C1D1AE为平行四边形，

∴EC1∥AD1，

∵EC1⊄面AA1D1D，AD1⊂面AA1D1D，

∴EC1∥面AA1D1D．

（2）连接ED，则四边形EBCD为平行四边形，

当BC=2时，BC=BE，

平行四边形EBCD为菱形，

∴EC⊥BD，

∵B1B⊥面ABCD，B1B⊥EC，又B1B∩BD=B，

∴EC⊥面B1BDD1，

∴面C1EC⊥面BlBDDl．

（3）延长BC，B1C1，交于点P，则，

∴PC=，∵BC=2，∴PC=2，

延长AD交BC于点P′．

同理，，

∴，

∴点P与点P‘重合，

∴BC，B1C1，AD延长线交于一点P，

同理，BC，B1C1，A1D1，AD延长线相交于同一点P，

过点P作直线l∥CD，则l为面ABCD和面A1B1C1D1的交线，

取A1B1中点F，连接EF，EP，FP，

∴PB=PA=4，

E为AB中点，

∴PE⊥AB，∴PE⊥l，

同理，PF⊥l，∠EPF为二面角A-l-A1的平面角，

在Rt△PEF中，PE==，

EF=BB1=4，

∴tan∠EPF===．