热门试卷

（1）证明：作DE⊥PB于E，

∵平面PBC⊥平面PBD，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥BC．

∵PD⊥BC，PD∩DE=D，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥BD．

∵AB=AD=1，AB∥CD，

∴∠CDB=∠DBA=45°，∴BC=BD=，

∵BC⊥BD，∴CD=2；

（2）解：∵PD⊥底面ABCD，∴CD⊥PD

∵CD⊥AD，AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD

延长DA，CB交于G，连接PG，则PG是所求二面角的棱．

作DH⊥PG于H，连接CH，根据三垂线定理，CH⊥PG，

∴∠CHD是侧面PAD与侧面PBC所成二面角的平面角，

∵PD=1，GD=2，∴DH=，

∵CD=2，∴tan∠CHD=，

∴侧面PAD与侧面PBC所成锐二面角的大小为arctan．

（1）证明：作AC的中点D，连结PD，BD，

∵PA=PC，

∴PD⊥AC，

∵PA=PB=AC=4，

∴∠PAC=60°，PD=AD=2，

∵AB=BC=2，AC=4，

∴AC2=AB2+B2，

∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，

∴BD=CD=2，

∴PB2=PD2+DB2，

∴PD⊥BD，

∵BD⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BD∩AC=D，

∴PD⊥平面ABC，

∵PD⊂平面APC，

∴平面ABC⊥平面APC．

（2）作BC的中点E，连结PE，AE，

∵PB=PC，AB=AC，

∴PE⊥BC，AE⊥BC，

∵PE⊂平面PDE，AE⊂平面PDE，PE∩AE=E，

∴BC⊥平面PDE，

∵BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PED，

作PC的中点F，又D为AC的中点，

∴AP∥DF，

∴直线PA与平面PBC所成角与直线DF与平面PBC所成角相等，

有D向PE作垂线，交PE与G，

∵平面PBC⊥平面PED，平面PBC∩平面PED=PE，

∴DG⊥平面PBC，连结DF，

则∠DFG为直线DF与平面PBC所成角，

PD=2，DE=AB=，DF=AP=2

∴PE==，

∴在Rt△PDE中，DG===，

在Rt△DGF中，sin∠DFG==×=，

即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．

（3）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．

由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），

有题意平面PAC的法向量==（2，0，0），

设平面PAM的法向量

=（x，y，z），M=（m，n，0），

∵=（0，2，2），=（m，n+2，0），=0，=0，

∴，

取y=-1，可得=（，-1，），

∴cos＜，＞==，

∴n+2=n，

∴BM的最小值为垂直距离d=．

（1）证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，

∵D为AB中点，∴DO∥BC1，

又∵DO⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD．

（2）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．

∴=（-2，2，2），

设二面角D-CA1-A的大小为θ，则

∵平面ACA1的法向量是=（0，1，0）

∴cosθ==，∴tanθ=，

∴二面角D-CA1-A的正切值是．

证明：（I）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，

则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．

又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD．

（II）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，

设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，

由三垂线定理知BF⊥VD，

故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．

设正方形ABCD的边长为a，

则在Rt△ABF中，，AB=a，AF=a，tan∠AFB=

故二面角A-VD-B的正切值为：；

（III）：由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，

∴CD⊥平面VAD．

∴平面VAD⊥平面ECD．

又∵△VAD是正三角形，

∴当E是VA的中点时，ED⊥VA．

∴VA⊥平面EDC．

∴面DCE⊥面VAB

三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积，

=．12分

解：（1）证明∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．

∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．

又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．

（2）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF．

则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．

由（1）可得AB⊥BC，∴CF⊥AF．

由三垂线定理，得PF⊥AF．

则AF=CF=，PF=，

在Rt△PFA中，tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为 ．

（3）取AP的中点E，连接CE、DE．∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=．

∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA．

∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角．

由（1）AB⊥平面PCB，

又∵AB=BC，可求得BC=．

在Rt△PCB中，PB=，．

在Rt△CDE中，sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B大小的正弦值是 ．

故二面角C-PA-B 的大小的余弦值为：．

（Ⅰ）证明：连接OQ，由题知PA∥QC，∴P、A、Q、C四点共面，易知BD⊥AC，BD⊥PA，又PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PACQ，得BD⊥OP．

由题中数据得PA=2，AO=OC=，QC=1，∴，△PAO∽△OCQ，∴∠POA=∠OQC，

又∵∠POA+∠OPA=90°，∴∠POA+∠COQ=90°，∴OP⊥OQ．

（或计算OQ=，OP=，PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，即OP⊥OQ）

∵BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD．

（Ⅱ）解：如图右图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

由题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），Q（2，2，1），O（1，1，0），

∴，，=（0，2，1），设平面PBQ的法向量为，

∴，得，不妨取y=-1，得，

由（Ⅰ）知，是平面BDQ的一个法向量，于是cos=，由图知，二面角P-BQ-D为锐二面角，

∴二面角P-BQ-D的平面角的余弦值为．

（Ⅲ）解：设，∴=（0，2，-2），，

从而，

∵CE∥平面PBQ，∴与平面PBQ的法向量垂直，则，

得，即．

另解：在平面PAD中，分别过点D、P作直线PA、AD的平行线相交于点M，

连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，如右图所示．

由题可知CN∥PB，NE∥PQ，CN∩NE=N，∴平面CNE∥平面PBQ，∴CE∥平面PBQ．

显然，△QCN∽△DMN，由CQ=1，MD=PA=2，∴，即．

（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，∴AE⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．

而PA∩AD=A，

∴AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．

（2）解：①连接EH．由（1）知AE⊥平面PAD，∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角．

在Rt△EAH中，AE=，而，

∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，，因此AH=．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD=2．

②取PA中点F，连BF，HF，则HF∥AD，且，而BC∥AD，BC=AD，∴BE=HF，BE∥HF．

故四边形BEHF是平行四边形，则EH∥BF，所以异面直线PB与EH所成的角是∠PBF或其补角．由计算得：，BF=，PF=1，

故cos∠PBF==，

故异面直线PB与EH所成角的余弦值是．