热门试卷

①证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA=∠CDA=45°，

由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB，

又FA⊥平面ABCD，∴CD⊥FA，

∵FA∩AB=A，∴CD⊥平面ABF．

②解：由上可得，即G为AD的中点，

取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，

因为BC∥AD，所以BC∥EF，

过点N作NM⊥EF，交BC于M，则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角，

连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，从而BC⊥GM，

由已知，可得GM=，

由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM，

在Rt△NGM中，，

所以二面角B-EF-A的正切值为．

解：（1）以D为坐标原点，以DA，DB，DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系．如图①

则各点坐标D（0，0，0），B（2，2，0），B1（1，1，2），C1（0，1，2）

=（1，1，2），=（-2．-1，2）

设的夹角为θ，则cosθ===

直线DB1与BC1夹角的余弦值为．

（2）如图②

∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，

根据三垂线定理，有AC⊥B1B．

过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M，连接MC，MO，

由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB1

所以，∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角．

根据勾股定理，有 ．

∵OM⊥B1B，有 ，

，，．

．

解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥BC，

由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC，

又PD∩DC=D，则BC⊥平面PDC，

∴∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角，

令PD=1，则DC=1，BC=，得PC=，

由BC⊥平面PDC

∴BC⊥PC，

在Rt△PBC中，由PC=BC得∠BPC=45°即直线PB和面PDC所成的角为45°；

（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDB，得平面PDB⊥平面ABCD，

作CH⊥BD于H，则CH⊥平面PDB，作HF⊥PB于F，连CF，

∴CF⊥PB

则∠CFH为二面角D-PB-C的平面角，

在Rt△DBC中，DB=，

∴CH•BD=CD•BC，得CH=，

在Rt△FHC中，得HF=

∴tan∠HFC=

即二面角D-PB-C的正切值为；

（Ⅲ）证明：取PB中点G，PC中点E，连结AG，GE，DE

∴GE∥BC，GE=BC，由已知∴AD∥BC，AD=BC，

∴AD=GE，AD∥GE，则四边形AGED是平行四边形，

∴AG∥DE，可知DE⊥平面PBC，

∴AG⊥平面PBC，

又AG⊂平面PAB

∴平面PAB⊥平面PBC．

解：（1）∵AD⊥底面ABFC，∴DA⊥AB，DA⊥AF，

∴平面角∠BAF的大小为二面角B-AD-F的大小，

∵AB=AC=6，∴△ABC为等腰直角三角形，BA⊥AC，

又O为AC中点，∴∠BAF=45°，

∴二面角B-AD-F的大小为45°；

（2）∵OE∥AD，DE∥AO，∴四边形DAOE为矩形，

∴DE∥AO，DE=AO，∴DE∥OF，DE=OF，

连结DO，∴DO∥EF，∴∠BDO为直线BD与EF所成的角．

∵BC⊥AO，∴BO⊥面DAO，∴BO⊥OD．

Rt△BDO中，BO=AO=，∴DO==，∴BD=10

∴sinn∠BDO==

∴直线BD与EF所成的角的正弦值为．

解：（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，

∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，∴BD⊥OD，

∴∠ODC=α，则OC=CDsinα，OD=CDcosα．

∴

==，

当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，

∴当α=45°时，三棱锥O-ACD的体积最大，最大值为．        

（2）过O作OE⊥AB于E，则OEBD为矩形，

以O为原点，OE，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

于是，，

由AD⊥BC，得，

∴，

得，又α为锐角，∴α=60°．

解：建立如图所示的坐标系，则

（1）P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），

∴=（a，a，-a），=（0，a，0），

∴cos＜，＞==，

∴PB与CD所成的角的正弦值为；

（2）F（，，），E（a，，0），∴=（，，），=（a，，0），

设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则，

取y=2，则x=-1，z=-1，∴=（-1，2，-1），

∵=（a，a，0），

∴DB与平面DEF所成的面的正弦值为=，

∴DB与平面DEF所成的面的余弦值为=；

（3）B到平面DEF的距离为h=×a=a；

（4）∵平面DEB的法向量为（0，0，a），平面DEF的法向量为（-1，2，-1），

∴二面角F-DE-B的大小的余弦值为||=，

∴二面角F-DE-B的大小的正切值为．

解：（1）过A作AE⊥PD，

∵平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

∵，

∴CD⊥平面PAD．

又∵AE⊂平面PAD，

∴CD⊥AE，

∵平面PCD，

∴AE为A到平面PCD的距离．

在Rt△PAD中：

由，

得．

（2）由（1）知AE⊥平面PCD，

∴∠APD为直线PA与平面PCD所成的角

在Rt△PAD中：

．

（3）过A作AF⊥PC，连EF，

由（1）知AE⊥平面PCD，

由三垂线定理的逆定理知EF⊥PC，

∴∠AFE为二面角A-PC-D的平面角，

在Rt△PAC中，

在Rt△AEF中，

∴．

解：（1）点M是线段SC的中点，证明；建立以D为原点，DA所在直线为Ox轴，DC所在直线为Oy轴，DS所在直线为Oz轴的如图空间直角坐标系：

设M（x，y，z），S（0，0，2），A，，C（0，2，0）．

设（λ＞0）．

则（x，y，z-2）=λ（-x，2-y，-z），

可得M，

∴=，

又=（0，2，0），∠ABM=60°．

∴cos60°=，

∴=，

解得λ=1，因此点M是线段SC的中点．

（2）由（1）有M（0，1，1），=（，-1，-1），

又=，=（0，2，0）．

设=（x1，y1，z1），分别是平面SAM，MAB 一个法向量，

则，解得=，

同理可得=．

∴cosθ=-=．

解：（I）由题意，S△VAB=，S正方形ABCD=2×2=4

在△VBC中，BC=2，VB=，且VB⊥BC，∴S△VBC=

同理可得S△VAD=

在△VCD中，VC=VD=3，CD=2，∴S△VCD=

∴多面体V-ABCD的表面积为6+2+2；

（II）设AB，CD的中点为O，F，连接VO，OF，则OB，OF，OV两两垂直，以O为原点，OB，OF，OV所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

则A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（-1，2，0），V（0，0，2），E（，0，1）

设平面VCD的一个法向量为=（x，y，z）

∵=（-1，-2，2），=（-2，0，0）

∴由可得，∴可取=（0，1，1）

设平面EAC的一个法向量为=（x′，y′，z′）

∵=（λ，0，-2λ），=（-1，0，-2）

∴==（-1-λ，0，2λ-2）

∵=（2，2，0）

∴，∴可取=（2λ-2，-2λ+2，λ+1）

∵平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°

∴cos＜，＞==

∴25λ2-30λ+9=0

∴λ=

∴存在λ=，使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°