热门试卷

解：根据已知，DA，DC，DP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0），C（0，1，0），P（0，0，），M（），N（）；

（1）证明：为平面PCD的一条法向量，；

∴；

∴；

∴MN∥平面PCD；

（2）证明：=（），；

∴；

∴；

∴MC⊥BD；

（3）为平面PAD的一条法向量，，；

设平面PBC的法向量为，则：

；

∴，取z=1，∴；

设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为θ，则：

cosθ=|cos|=；

∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为．

（I）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点．

在△ABC1中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC1的中点，∴OD为△ABC1的中位线，∴OD∥AC1，

又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．…（6分）

（II）解：过C作CE⊥AB于E，连接C1E．

∵CC1⊥底面ABC，∴C1E⊥AB．

∴∠CEC1为二面角C1-AB-C的平面角．

在△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，∴

在直角△CC1E中，tan∠C1EC=，∴cos∠C1EC=

∴二面角C1-AB-C的余弦值为．…（12分）

解法一：（I）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC

所以CC1⊥AC

因为BC=CC1，所以BCC1B1为正方形

又∠ACB=90°，所以AC⊥BC

所以AC⊥平面BCC1B1…（2分）

连结B1C，则B1C为AB1在平面BCC1B1上的射影

因为B1C⊥BC1，所以AB1⊥BC1…（4分）

（II）因为A1C交AC1于H，连BH

因为BC⊥AC，BC⊥CC1，BC⊥平面ACC1A1…（6分）

所以CH为BH在平面ACC1A1上的射影

因为四边形ACC1A1为正方形，所以CH⊥AC1

所以BH⊥AC1

所以，∠CHB为二面角C-AC1-B的平面角…（7分）

在直角△BCH中，

所以…（8分）

所以，二面角C-AC1-B的大小为…（9分）

（III）因为BC∥B1C1，BC⊄面AB1C1

所以BC∥面AB1C1

所以点B到平面AB1C1的距离等于点C到平面AB1C1的距离…（11分）

因为BC⊥CH，所以B1C1⊥CH

又CH⊥AC1，所以CH⊥平面AB1C1

所以CH的长度为点B到平面AB1C1的距离…（13分）

解法二：（I）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点．

依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2）…（2分）

因为

所以AB1⊥BC1…（4分）

（II）因为BC⊥AC，BC⊥CC1

所以为平面ACC1的法向量，…（5分）

设是平面ABC1的法向量

由，得，所以

令z1=1，则…（6分）

因为（8分）

所以，二面角C-AC1-B的大小为…（9分）

（III）设是平面AB1C1的法向量

由，得，所以

令z2=1，则…（11分）

因为，所以，

B到平面AB1C1的距离为…（13分）

（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，

∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，

∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，

DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，

∴DE⊥平面PCD

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，

过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，

由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，

以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），

∴=（1，-1，0），=（-1，-1，3），=（，-1，0），

设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，

故可取=（2，1，1），

由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，-1，0），

∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==

∴二面角A-PD-C的余弦值为．

（Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，

∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，…（1分）

∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，

又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，

∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD，

又AB⊂平面ABCD，∴AB⊥EF，…（3分）

在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，

又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，

又DE⊂平面BED，∴AB⊥DE．…（6分）

（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，

连接HE，AE，

∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，

平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，

PC⊂平面POC，∴AH⊥PC．

在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，

∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．

∴∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．…（10分）

设PO=AD=2BC=2CD=2，

而AE2=AC2-EC2，

AE=，AH=，则sin∠AEH=，

∴二面角A-PC-O的余弦值为．…（12分）

解：（1）如图，连接A1D；

∵DC∥AB，∴∠A1CD便是异面直线AB与A1C所成的角；

在Rt△A1CD中，∠A1DC=90°，，；

∴；

即异面直线AB与A1C所成角的余弦值为；

（2）以D为原点，边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则：

D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，2）；

显然为平面AA1B的法向量；

∵P在棱CC1上，∴设P（0，1，z），0≤z≤2；

∴，；

∵∠A1PB=90°；

∴；

∴1-z（2-z）=0；

解得z=1；

∴P（0，1，1）；

设平面PA1B的法向量为，则：；

∴；

∴；

∴，取z1=1，∴；

∴=；

∴sinθ=．