热门试卷

（1）证明：连接OM，OT，∵O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．

∴OM∥PB，OT∥BC，

又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴OM∥平面PBC，

同理可得OT∥平面PBC，

又OM∩OT=O，

∴平面OMT∥平面PBC．

∵N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，

∴点N在线段MT上．

（2）解：连接OP，OC．∵PA=PB=，O为AB的中点，则OP⊥AB，

同理可证：OC⊥AB，

∵OB=1，

∴OP=OC==1，

∴OP2+OC2=1+1=2=PC2，

∴OP⊥OC，

如图所示，建立空间直角坐标系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），

=（-1，-1，0），=（0，-1，1），

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，可得，

令y=-1，解得x=1，z=-1，∴=（1，-1，-1），

取平面ABC的法向量=（0，0，1），

则===-．

由图可知：二面角P-BC-A为锐角．

∴二面角P-BC-A的余弦值为．

（Ⅰ）证明：∵在△SAC中，D、E分别为SC、SA的中点，

∴DE∥CA．…（2 分）

又DE⊄平面ABC，CA⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC．…（4 分）

（Ⅱ）证明：∵在△SAC中，SA⊥AC，ED∥AC，

∴ED⊥SA．…（5 分）

∵在△SAB中，BS=BA，BA=BD，E为SA的中点，

∴BE⊥SA．…（6 分）

∵ED⊂平面DEB，BE⊂平面DEB，且ED∩BE=E，

∴SA⊥平面DEB．…（7 分）

又SA⊂平面SAB，

∴平面DEB⊥平面SAB．…（9 分）

（Ⅲ）解：二面角B-SA-C即为二面角B-SA-E，

由（Ⅱ）可知，BD⊥SA，BE⊥SA．

故∠BED即为所求二面角B-SA-C的平面角．…（10分）

在△BED中，易知，DE=1，，…（11分）

由余弦定理，得．

∴二面角B-SA-C的余弦值为．…（13分）

解：（I）以D为原点建立空间直角坐标系则A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）

 =（2，0，-2）=（0，2，0）=0，∴∴PA⊥CD；

（Ⅱ）设G（1，0，0）则=（0，-1，-1）=（2，0，0）=（0，2，-2）

又∴GF⊥平面PCB；

（Ⅲ）设平面PAB的一个法向量为n1=（x，y，z）

又=（0，2，0）=（2，0，-2）

即

令x=1，可得n1=（1，0，1）

同理可求得平面PBC的一个法向量为

n2=（0，-1，-1）

设二面角A-PB-C的大小为θ

则|cosθ|==，

∵θ为钝角，∴二面角A-PB-C的大为120°

解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥CD，

又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

∴BC⊥平面PCD，而PC⊆平面PCD，∴BC⊥PC，

同理可证：CD⊥PC，

又CD∩BC=C，且CD，BC⊆平面ABCD，

∴PC⊥平面ABCD．

（Ⅱ）作CF⊥AE，交AE的延长线与点F，连接PF．

∵AE⊆平面ABCD，由（Ⅰ）知PC⊥AE，又CF⊥AE，且CF∩PC=C，

∴AE⊥平面PCF，

∵PF⊆平面PCF，∴PF⊥AE，

即∠PFC为二面角P-AE-B的平面角．

设正方形ABCD的边长为2a，则CE=a，则，

而∠CEF=∠AED，，

∴△AED∽△CEF，

∴，则，

∵BC⊥PC，，∴PC=2a，

故．

（Ⅲ）在平面ABCD内，过点E作EM∥BC交AB于点M，

在平面PAB内，过点M作MH∥PB交PA于点H，点H即为所作点，证明如下：

∵EM∥BC，EM⊄平面PBC，BC⊆平面PBC，

∴EM∥平面PBC，同理可证MH∥平面PBC，

又∵EM∩MH=M，EM，MH⊆平面EMH，

∴平面EMH∥平面PBC，而EH⊆平面EMH，

∴EH∥平面PBC，

故在线段PA上存在点H，使得EH∥面PBC．

解：（1）如图，

以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

因为AB=2，A1A=AD=1，E为AD1与A1D的交点，

所以，A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），

E（），D（0，0，0）．

，，．

则平面AD1D的一个法向量为，

设平面AD1C的一个法向量，

由，得，取y=1，则x=z=2，

所以．

再设二面角C-AD1-D 的平面角为θ，

则cosθ=．

所以sinθ=．

则二面角C-AD1-D 的平面角正切值为tanθ=．

（2）D点到平面AD1C的距离为=．

所以D点到平面ACD1的距离为．

（1）证明：如图，

由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．

∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，PA⊥AE．

而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，

PD⊂面PAD，∵AE⊥PD；

（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．

过E作EO⊥AC于O，则由面面垂直的性质定理可知：EO⊥平面PAC，

∴EO⊥AF，过E作ES⊥AF于S，连接OS，AF⊥平面ESO，

∴AF⊥SO，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角．

在Rt△AOE中，OE=AEsin30°=，OA=AEcos30°=3，

又F是PC的中点，PA=AC，∴AF⊥PC且AF=FC，

在Rt△ASO中，SO=AOsin45°=，

又SE==．

在Rt△ESO中，cosESO==．

即二面角E-AF-C的余弦值为．

（1）证明：∵ACC1A1是正方形，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，

∴tan∠EAC=tan∠DA1A=，∴∠EAC=∠DA1A

∵∠ADA1+∠DA1A=90°，∴∠ADA1+∠EAC=90°

∴AE⊥A1D

∵△ABC为正三角形，D是棱AC的中点，

∴BD⊥AC

∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，

∴BD⊥平面ACC1A1，

∴AE⊥BD

∵A1D∩BD=D

∴AE⊥平面A1BD；

（2）解：连接AB1，交A1B于点F，连接HF

∵ABB1A1是正方形，∴AB1⊥A1B

∵AH⊥平面A1BD，∴HF⊥A1B

∴∠AFH是二面角D-BA1-A的平面角

设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，则在正方形ABB1A中，AF=

在直角△ADA1中，AH==

∴在直角△AFH中，sin∠AFH==

∴二面角D-BA1-A的平面角的大小为arcsin．

（Ⅰ）证明：∵EC∥BD，

∴四边形BDEC为平面图形，

EC⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，EC⊂平面ABC，

∴AC⊥EC，EC⊥BC，

∴∠ACB为A-EC-B的平面角，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC；

（Ⅱ）∵AC，BC，EC两两垂直，

∴分别以CA，CB，CE为x，y，z轴，建立坐标系，

∵CA=CB=CE=2BD，

∴A（2，0，0），C（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，1），

∴=（-2，0，2），=（-2，2，1），=（0，0，2），

设平面DAE的法向量=（x1，y1，z1），平面AEC的法向量为=（x2，y2，z2），

∴，得=（1，），

，得=（0，1，0），

∴cos＜＞===

∵二面角D-AE-C是锐二面角，

∴二面角D-AE-C的余弦值为：．