热门试卷

证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，

∴BE⊥AC，

即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

则BE⊥平面A1OC；

∵CD∥BE，

∴CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，

由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，

∴∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，

∴∠A1OC=，

如图，建立空间坐标系，

∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED

∴B（，0，0），E（-，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），

=（-，，0），=（0，，-），

设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），

则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），

由得，

取=（0，1，1），

则cos＜＞===，

∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA

又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB（2分）

又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（4分）

（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO

∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点（5分）

又E为PD中点，∴PB∥EO（6分）

又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（8分）

（3）解：过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点

∵AB⊥AC，∴OG⊥AC

又由 （1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，

∴AC⊥EO（10分）

∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角

连结EF，在△EFO中，

又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°

∴∠EOG=135°，即二面角E-AC-B的大小为135°．（12分）

解：（1）过A作AE⊥BC于E，连ED，

∵面ABC⊥面BCD，

∴AE⊥面BCD

∴∠ADE就是AD与面BCD所成的角

∵DC=a，则BC=a，AE=，DE=

∴AD=，∴sin∠ADE=

即AD与面BCD所成角的正弦值为．

（2）①设A在平面BCD内的射影为O，连OB、OC、OD，

∵AB=AC=AD

∴Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOD，

∴OB=OC=OD

∴O是Rt△BCD的外心，即BD边的中点．

②取CD中点F，连OF、AF，由①得A在面BCD内的射影为O，OF∥BC，∴OF⊥CD，

∴AF⊥CD，

∴∠AFO就是二面角A-CD-B的平面角；

∵CD=a，

∴BD=2a，AB=a，

∴AO=a，

又∵OF=BC=a

∴AF=，

∴Rt△AFO中，cos∠AFO==

即二面角A-CD-B的余弦值为

解：（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC

∵直线l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，

∴直线l∥平面A1BC，

∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l

∵AA1⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA1⊥l

∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线

∴直线l⊥平面ADD1A1；

（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF

由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，

∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，

∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，

∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A-A1M-N的平面角

设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1

又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1

Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=

∴AE==，AF==

∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==

即二面角A-A1M-N的余弦值等于．