热门试卷

（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点

∵E为侧棱PD的中点

∴，且，

又PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC．    …（4分）

（2）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴CD⊥侧面PAD

∵CD⊂面PDC，∴面PDC⊥侧面PAD

正三角形PAD中，E为PD的中点，所以AE⊥PD，

∵面PDC∩面PAD=PD，∴AE⊥平面PCD．    …（9分）

（3）解：在PC上取点M使得．

由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC

所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，

连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以AM⊥PC．

所以∠AME为二面角A-PC-D的平面角．…（12分）

在Rt△AEM中，．

即二面角A-PC-D的正切值为…（14分）

证明：（1）∵面DGEF⊥面ABEG，且BE⊥GE，

∴BE⊥面DGEF，得BE⊥FG．

又∵GF2+EF2=（）2+（）2=4=EG2，

∴∠EFG=90°，有EF⊥FG．

而BE∩EF=E，因此FG⊥平面BEF．（4分）

解：（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，2，0），F（0，1，1），

于是，=（1，-1，-1），=（1，1，-1），=（0，1，-1）．

设相交两向量、的法向量为n1=（x1，y1，z1），

则由n1⊥，得x1-y1-z1=0；由n1⊥，得x1+y1-z1=0．

解得y1=0，x1=z1，因此令n1=（1，0，1）．

事实上，由（1）知，平面BEF的一个法向量为n2=（0，1，1）．

所以cos＜n1，n2＞===，两法向量所成的角为，

从二面角A-BF-E大小为．（8分）

（3）连接BD、BG将多面体ADG-BFE分割成一个四棱锥B-EFDG和一个三棱锥D-ABG，

则多面体的体积V=VB-EFDG+VD-ABG=•（1+2）•1•1+••2•1•1=+=．（12分）

解：（1）∵顶点A1在底面ABC上的射影恰好为点B，

∴A1B⊥平面ABC，

∴A1B⊥AC，

∵AB⊥AC，

∴A1B∩AB=B，

∴AC⊥平面A1B，

∴AC⊥A1A，

过A1作A1D⊥B1C1，垂足为D，连接BD，则BD⊥B1C1，

∵AB⊥AC，AB=AC=A1B=2，

∴BD=，BC=A1A=2，

∵三棱柱的底面是直角三角形，两个侧面是平行四边形，一个矩形，

∴三棱柱的表面积为2××2×2+2×+2×2+2×=8+4+4；

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），

设=λ=（2λ，-2λ，0），则P（2λ，4-2λ，2），

∴=（2λ，4-2λ，2），

∴||==，

解得λ=0.5或λ=1.5（舍），

则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2），

设平面P-AB-A1的法向量为=（x，y，z），

则，令z=1，得=（-2，0，1），

由题意知平面ABA1的法向量为=（1，0，0），

设二面角P-AB-A1的平面角为θ，

则cosθ=|cos＜，＞|=，

∴sinθ=．

∴二面角P-AB-A1的平面角的正弦值为．

（1）证明：∵AC为直径，点E为弧AC的中点

∴EB⊥BC

∵FC⊥平面BDE，EB⊂平面BDE

∴FC⊥EB

∵BC∩FC=C

∴EB⊥平面BDF；

∵EB⊂平面BEF

∴平面BEF⊥平面BDF；

（2）解：过C作CG⊥DE，垂足为G，连接FG

∵FC⊥平面BDE，

∴FG⊥DE

∴∠FGC为二面角F-DE-B的平面角

∵

∴FC=2a

∵EB=a，BD=2a，CD=a，EB⊥BD，CG⊥DE

∴

∴

∴二面角F-DE-B的正切值为．

解：（I）如图所示，由题意，SA=AB=a，SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD内的交线，∴SA⊥底面ABCDSA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，

则CD⊥平面SAD，∴∠DSC为直线SC与平面SAD所成的角，

∵CD=a，SD=a

∴tan∠DSC=

∴直线SC与平面SAD所成的角为arctan；

（II）作BE⊥SC，垂足为E，连接DE，则DE⊥SC，

∴∠BED为二面角B-SC-D的平面角

∵BC=a，SB=，∴SC=

∴=

在△BED中，cos∠BED==-

∴∠BED=120°；

（III）SC为S-ABCD外接于球的直径，SC=a，∴半径为

设内切球半径为r，则

∴r=

∴四棱锥S-ABCD外接球半径与内切球半径之和为+．

（1）证明：在图甲中，易知AE∥DF，从而在图乙中有A1E∥D1F，

∵A1E⊄平面CD1F，D1F⊂平面CD1F，∴A1E∥平面CD1F．

（2）解：如图，在图乙中作GH⊥EF，垂足为H，连接A1H，由于A1G⊥平面EBCF，则A1G⊥EF，∴EF⊥平面A1GH，则EF⊥A1H，图甲中有EF⊥AH，

又GH⊥EF，则A、G、H三点共线，

设CF的中点为M，则MF=1，可证△ABG≌△EMF，

∴BG=MF=1，则AG=；

又由△ABG∽△AHE，得，

于是，HG=AG-AH=，

在Rt△A1GH中，==，

作GT∥BE交EF于点T，则TG⊥GC，

以点G为原点，分别以GC、GT、GA1所在直线为x、y、z轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，

则G（0，0，0），E（-1，1，0），F（2，2，0），，

则，，

∴是平面BEFC的一个法向量，

设是平面A1EFD1的一个法向量，则，

不妨取y=-1，则x=3，z=，∴．

设平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，

∴==，

所以，平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值为．

（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB，

由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，

又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，

∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE，

∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，

∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，

∵BE⊂平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；

（2）解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，

∵E为PC的中点，2PF=AF，∴EF∥CG，

∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，

∴CG∥平面BEF．

同理可证：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．

则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．

∵PB⊥底面ABC，CM⊂平面ABC

∴CM⊥PB，

∵CM⊥AB，PB∩AB=B，∴CM⊥平面PAB，

∵GM⊂平面PAB，∴CM⊥GM，

而CM为平面CMG与平面ABC的交线，

又AM⊂底面ABC，GM⊂平面CMG，∴∠AMG为二面角G-CM-A的平面角

根据条件可知AM=，AG=，

在△PAB中，cos∠GAM=，

在△AGM中，由余弦定理求得MG=，∴cos∠AMG=，

故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为．