热门试卷

（1）解：∵E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点

∴EF∥BC

∵直角三角形ABC中，∠C=90°，∴AC⊥BC

∴EF⊥AC

折后，EF⊥AC，EF⊥AF．

∴EF⊥平面A′AC

∵EF∥BC，∴BC⊥平面A′AC

∵A′C，AC⊂平面A′AC，∴BC⊥AC，BC⊥A′C

∴∠A′CA=∠A′CE是二面角A-BC-A′的平面角

设AC=2a，在△A′EC中，A′C=EC=a，A′E=a

∴cos∠A′CE==，

∴∠A′CE=

∴二面角A-BC-A′的大小为                     7分

（2）证明：由（1）BC⊥平面A′AC得BC⊥AA′

∵EA=EA′=EC，

∴A′在以AC为直径的圆上

∴AA′⊥A′C

又BC∩A′C=C，BC，A′C⊂平面A′BC

∴AA′⊥平面A′BC．                                              12分．

（1）证明：如图所示，

取BC的中点O，CD的中点M，连接OA，OM．

又∵AC=AB，∴AO⊥BC，

∵平面ABC⊥平面BCD，

∴AO⊥平面BCD．

∴AO⊥OM．

∵OM∥BD，BD⊥BC，

∴OM⊥BC．

以OM，OB，OA所在直线建立空间直角坐标系．

则A（0，0，3），B（0，3，0），C（0，-3，0），D（2，3，0）．

∴=（2，3，-3），=（0，-3，-3），=（0，3，-3）．

设平面ACD的法向量为=（x，y，z），

则，即，

取=．

同理可得平面ABD的法向量=（0，1，1）．

∵=0-1+1=0，

∴．

∴平面ABD⊥平面ACD．

（2）解：取平面ACB的法向量=（1，0，0）．

则===．

∴==．

∴二面角A-CD-B的正切值===．

解：（1）设正方体边长为2，取CD中点为F，连接EF，则EF∥BD，EF=，C1E=，

∴∠FEC1为异面直线C1E与BD所成角，

∴cos∠FEC1==；

（2）过C作CH⊥DE于H，连接C1H，则∠C1HC就是二面角C1-DE-C的平面角，

∵CD=2，CE=1，

∴DE=，

∴CH=，

∵CC1=2，∴C1H=

∴cos∠C1HC=．

（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

∴PD⊥BD…（2分）

∵∠ADB=90°，∴AD⊥BD…（3分）

∵AD∩PD=D

∴BD⊥平面PAD…（5分）

∵BD⊂平面PBD，

∴平面PAD⊥平面PBD…（7分）

（Ⅱ）解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系

D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（0，，0），

设P（0，x，y），∵，∴…（9分）

∵BD⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量…（10分）

设平面ADE的一个法向量，

，，∴

解得…（13分）

设α为所求的角，cosα==…（15分）

解：（I）∵AB=BC=BD=2，

∠CBD=60°，DE=1，

∴CD=2，CE=BE=，

∴，

∴，

∴，

∵DE∥AB，

∴ABDE是平面图形，

∵AB⊥平面BCD，

∴BD⊥AB，

∵AB=BD=2，

∴=2，

作CM⊥BD，交BD于M，

∵BC=BD=CD=2，

∴CM=，

∵AB⊥平面BCD，

∴CM⊥AB，

∴CM⊥面ABDE，即CM是棱锥C-ABE的高，

设点A到平面BCE的距离为h，

由VA-BCE=VC-ABE，得，

∴．

即点A到平面BCE的距离为．

（II）∵AB=BC，F为AC中点，

∴BF⊥AC，

取BC中点G，连EF，FG，GD，FG∥DE∥AB，FG=DE=，

故四边形FGDE为平行四边形，EF∥DG，

∵G为BC中点，BD=CD，∴DG⊥BC，

∵AB⊥面BCD，∴AB⊥DG，

∵DG⊥面ABC，∴DG⊥BF，∴EF⊥BF，

∴BF⊥面ACE，

∴平面ABC⊥平面ACE．

（III）延长AE于BD交于点H，连CH，

则CH是平面ACE与面BCD的交线，

在△BCH中，

∵BC=2，BH=4，∠BCD=60°，

∴BC⊥CH，

∵AB⊥平面BCD，

∴AC在平面BCD中的射影为BC，

∴AC⊥CH，

故∠ACB即为所求的二面角的平面角，

在△ABC中，AB⊥BC，且AB=BC，∴∠ACB=45°，

故平面BCD与平面ACE所成二面角为45°．

（1）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥DC，ADEF是正方形，

∴FD⊥平面ABCD，∴BD⊥DE，

∵BD=2AD=2，AB=2DC=，

∴由勾股定理得AD⊥BD，

∵AD∩DE=D，∴BD⊥平面ADEF，

∵BD⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ADEF．

（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，

建立空间直角坐标系，D（0，0，0），E（0，0，1），B（0，2，0），C（-，1，0）

=（0，-2，1），=（-，-1，0），

设平面DBC的法向量=（x，y，z），

则，取x=2，得=（2，-1，-2），

∵平面DBE的法向量为=（1，0，0）

∴二面角D-BE-C的余弦值为=，

∴二面角D-BE-C的正弦值为．

解：取AB的中点D，连结CD、VD

∵等腰三角形VAB中，VA=VB=2，D为AB中点

∴VD⊥AB

同理可得CD⊥AB，可得∠CDV就是二面角V-AB-C的平面角

Rt△VAD中，VD==1，同理可得CD=1

∵VC=1

∴△VCD是边长等于1的等边三角形，可得∠CDV=60°

因此，二面角V-AB-C的大小为60°

（1）证明：连结CD1，设CD1∩DC1=F，则F是CD1、DC1的中点，

∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD，

又∵平面CC1D1D⊥平面ABCD，∴平面CC1D1D⊥BC，∴BC⊥CD1，

∵BC=2，BD1=2，∴CD1=2，CF=，

在△DFC中，DF=DC1=1，CD=1，

∴CD2+DF2=CF2，∴DF⊥DC，

又BC⊥平面CC1D1D，∴DF⊥BC，

∴DF⊥平面ABCD，DF⊂平面AB1C1D，

∴平面AB1C1D⊥平面ABCD；

（2）解：由（1）知能以D为原点，以DA、DC、DC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，

则平面DAE的法向量为==（0，0，2），

设平面A1AE的法向量为=（x，y，z），

∵=（2，0，0），=（1，1，0），==（0，-1，2），

∴=（-1，1，0），

∴，

令z=1，得=（2，2，-1），

∴cos＜，＞==，

即所求二面角的余弦值为．