热门试卷

（1）证明：如图，

∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，

又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，

则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．

又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．

又AB∥CD，∴AB∥GH；

（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，

以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设AB=BP=BQ=2，

则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），

因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．

则，

，．

设平面GCD的一个法向量为

由，得，取z1=1，得y1=2．

所以．

设平面EFG的一个法向量为

由，得，取z2=2，得y2=1．

所以．

所以=．

则二面角D-GH-E的余弦值等于．

解：（1）取M为SB的中点，连接AM，

则AM⊥SB，

∴

∴．

设二面角A-SB-C为α，∵，，

∴AC2=AM2+BC2+BM2-2AM•BC•cosα，

∴．

（2）

∴

∴异面直线AS，BC所成角为

解：（1）当N为DC中点时，连接AN，BN，

∵MB∥DC，且MB=DC=DN，∴MBND为平行四边形∴MD∥BN，…（2分）

又MD⊄平面ABN，且BN⊂平面ABN，因此MD∥平面ABN…（4分）

（2）取MD的中点E，连接AE，NE，取EN中点F，连接AF

∵在矩形ABCD中，AD=AM=1，∴AMND是正方形，

∴AE⊥DM，NE⊥DM，故∠AEN是二面角A-MD-C的平面角…（6分）

即∠AEN=60°，又AE=NE，∴△AEN是正三角形，所以AF⊥EN，又因为DM⊥AF，

∴AF⊥平面MBCD，易得，…（10分）

∴…（12分）

证明：（1）连接A1D，AD1，在长方体中，AE⊥平面AD1

∴AD1是D1E在平面AD1内的投影，

∵AD=A1A

∴四边形A1DD1A为正方形，

∴AD1⊥A1D，

由三垂线定理：

D1E⊥A1D，…（4分）

解：（2）连接DE，

∵E为AB的中点，

∴AD=AE，EB=BC

∴∠AED=∠BEC=45°

∴DE⊥EC

∴DD1⊥平面ABCD

∴D1E⊥EC

故∠D1ED即为二面角D1-EC-D的平面角

在△D1ED中，DD1=1，DE=

∴∴

故二面角D1-EC-D的大小为arctan…..（8分）

（3）过点D作DF⊥D1E于F

由（2）可得EC⊥面D1DE，有EC⊂面D1EC

∴面D1EC⊥面D1DE

∴DF⊥面D1EC

故DF为点D到平面D1EC的距离…（10分）

∵D1E2=DE2+DD12

∴D1E=，

DF==

故点D到平面D1EC的距离为…（12分）

解：（1）连结D1C，AC，如图，

则△AD1C是等边三角形

∵A1B∥D1C，

∴异面直线AD1与A1B所成的角为∠AD1C，

∵△AD1C是等边三角形，

∴∠AD1C=60°，

∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°．

（2）∵DD1⊥平面ABCD，∴AD1与平面ABCD所成的角为∠D1AD，

∵几何体是正方体，∴∠D1AD=45°；

（3）∵D1A⊥AB，CB⊥AB，BC∥AD，

∴二面角D1-AB-C的平面角为∠D1AD=45°．

解：（Ⅰ） 连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，

∵D为A1C1的中点，

∴DE为△A1BC1的中位线，

∴BC1∥DE

又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，

∴BC 1∥平面AB1D

（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，

DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，

a，A1A=

在直角三角形AA1D中，AD=

∴AD=B1D，DE⊥AB1

由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角的平面角，

又得DF=

∵△B1FE∽△B1AA1

∴EF=

∴∠DEF=

故所求二面角的大小为

（Ⅲ）设求点C1到平面AB1D的距离h

因AD2+DB12=AB12，所以AD⊥DB1，

故

∴•A1A

∴h=

即点C1到平面AB1D的距离是

解：（1）以C1为原点，如图建立空间直角坐标系．

设C1D=a（0≤a≤4），依题意有：D（0，0，a），A（2，0，4），B（0，2，4），

C（0，0，4），C1（0，0，0）

因为M、N分别为△ABD，△A1B1D的重心．

所以

∵=0

∴MN⊥BC

（2）因为平面ABC的法向量，设平面ABD的法向量

则有

令，

设二面角C-AB-D为θ，则有

因此 

设平面A1B1D的法向量为，

则

设C1到平面A1B1D的距离为d，则

（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则

即（舍）

因为D为CC1的中点，所以根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N．

解：（Ⅰ）证明：∵面ABD⊥面ABB‘A'，∴直线AB为直线AD在面ABB'A'上的射影，

∴∠DAB=45°，由，AD=2知，

DB⊥AB，∴DB⊥面AB'A'

（Ⅱ）证明：取AD中点E，连接CE、A'E，

∵BC∥AD，AD=2BC，

∴BC∥AE且BC=AE，

∴EC∥AB∥A'B'且EC=A'B'，∴A'E∥B'C，

又直四棱柱ABCD-A'B'C'D'侧面AA'D'D为矩形，

，

∠AA'E=∠AD'A'，∠AA'E+∠D'AA'=∠AD'A'+∠D'AA'=90°

∴AD'⊥A'E，∴AD'⊥B'C

（Ⅲ）∵DB⊥面ABB'A'且

过点B作BF⊥AB'交AB'于F，连接DF，

则AB'⊥面DBF，

∴AB'⊥DF，∠BFD为所求二面角的平面角，

又

∴，即二面角D-AB'-B的正切值为．