直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

二面角α-AB-β中，P∈AB，PM⊂α，PN⊂β，且∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是______．

正确答案

900

解析

解：如图所示，过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，与PM，PN于相交，交点分别为M′点和N′点，则∠M′QN′即为二面角α-AB-β的平面角．

设PQ=a，则

∵∠BPM=∠BPN=45°

∴QM′=QN′=a，PM′=PN′=a

又由∠MPN=60°，∴△PM′N′为等边三角形

∴M′N′=a

△QM′N′中，QM′=QN′=a，M′N′=a

∴QM′2+QN′2=M′N′2

∴∠M′QN′=90°

故答案为：90°

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题型：简答题

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简答题

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=a，AA1=2a，D是侧棱的中点．

（I ）求证：平面ADC1丄平面ACC1A1；

（II）求平面ADC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

正确答案

解：（I）证明：设AC、A1C1的中点分别为N、N1，连接NN1交AC1于M，连接MD，则NN1与CC1平行而且相等，

由已知可得MN=BD，所以BDMN是矩形，

所以DM∥BN．

因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以平面ABC⊥平面ACC1A1，BN⊥AC，

所以BN⊥平面ACC1A1．

所以DM⊥平面ACC1A1，

因为DM⊂平面ADC1，

所以平面ADC1⊥平面ACC1A1．

（II）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以△ABC是△ADC1在平面ABC内的射影．

设平面ADC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小等于θ，则cosθ=

由已知得，DM=BN=，AC1=，

所以，

所以cosθ==，（θ为锐角）

所以．

所以平面ADC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为．

解析

解：（I）证明：设AC、A1C1的中点分别为N、N1，连接NN1交AC1于M，连接MD，则NN1与CC1平行而且相等，

由已知可得MN=BD，所以BDMN是矩形，

所以DM∥BN．

因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以平面ABC⊥平面ACC1A1，BN⊥AC，

所以BN⊥平面ACC1A1．

所以DM⊥平面ACC1A1，

因为DM⊂平面ADC1，

所以平面ADC1⊥平面ACC1A1．

（II）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以△ABC是△ADC1在平面ABC内的射影．

设平面ADC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小等于θ，则cosθ=

由已知得，DM=BN=，AC1=，

所以，

所以cosθ==，（θ为锐角）

所以．

所以平面ADC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为．

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题型：简答题

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简答题

如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=．

（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；

（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．

正确答案

证明：（Ⅰ）连接PC，交DE于N，连接MN，

在△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点

∴MN∥AC…（2分）

因为MN⊂面MDE，AC⊄面MDE，

∴AC∥平面MDE…（4分）

解：（Ⅱ）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），

所以=（a，a，a），=（-a，a，0），…（6分）

平面PAD的单位法向量为=（0，1，0）…（7分）

设面PBC的法向量=（x，y，1），

则有，

解得：x=y=

则=（，，1），…（10分）

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，

∴cosθ==

即平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为…（12分）

解析

证明：（Ⅰ）连接PC，交DE于N，连接MN，

在△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点

∴MN∥AC…（2分）

因为MN⊂面MDE，AC⊄面MDE，

∴AC∥平面MDE…（4分）

解：（Ⅱ）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），

所以=（a，a，a），=（-a，a，0），…（6分）

平面PAD的单位法向量为=（0，1，0）…（7分）

设面PBC的法向量=（x，y，1），

则有，

解得：x=y=

则=（，，1），…（10分）

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，

∴cosθ==

即平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为…（12分）

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题型：单选题

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单选题

在直二面角α-AB-β的棱AB上取一点P，过P分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小为（　　）

A45°

B60°

C120°

D60°或 120°

正确答案

D

解析

解：如图，

当两斜线PC，PD同向时，在PC上取点C，过C作CG⊥AB于G，

在平面β内过G作GD⊥AB，交PD于D，连结CD．

∵二面角α-AB-β为直二面角，∴CG⊥β，则CG⊥GD．

在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，设CG=a，则PG=a，∴PC=．

在Rt△DGP中，∵∠DPG=45°，∴DG=PG=a，则PD=．

在Rt△DGC中，∵CG=DG=a，∴CD=．

∴△PCD是等边三角形，∴PC和PD所成角为60°；

如图，

当两斜线PC，PD异向时，在PC上取点C，过C作CG⊥AB于G，

在PD上取点D，使PD=CG，连结CD，

∵二面角α-AB-β为直二面角，∴CG⊥β，则CG⊥GD．

设CG=a，在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，∴PG=a，则PC=，

PD=CG=，∵∠BPD=45°，∴∠DPG=135°．

在△DPG中，GD2=PG2+PD2-2PG•PDcos135°

==5a2．

∴CD2=CG2+GD2=a2+5a2=6a2．

在△DPC中，．

∴∠DPC=120°．

∴PC和PD所成角为120°．

所以∠CPD的大小为60°或120°．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

如图，正方体ABC-A1B1C1D1中，M是棱BB1的中点．

（1）求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值；

（2）求二面角A-MC1-A1的余弦值．

正确答案

解：（1）以边DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则：

A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（2，2，1），C1（0，2，2），A1（2，0，2）；

设平面AMC1的法向量为，则；

∴；

∴，取x1=1，则；

设A1M和平面AMC1所成角为θ，则：

sinθ=；

（2）设平面A1MC1的法向量为，则：

；

∴，取y2=1，∴；

设二面角A-MC1-A1的平面角的大小为φ，则：

cosφ=cos＜＞==；

∴二面角A-MC1-A1的余弦值为．

解析

解：（1）以边DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则：

A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（2，2，1），C1（0，2，2），A1（2，0，2）；

设平面AMC1的法向量为，则；

∴；

∴，取x1=1，则；

设A1M和平面AMC1所成角为θ，则：

sinθ=；

（2）设平面A1MC1的法向量为，则：

；

∴，取y2=1，∴；

设二面角A-MC1-A1的平面角的大小为φ，则：

cosφ=cos＜＞==；

∴二面角A-MC1-A1的余弦值为．

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题型：单选题

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单选题

三棱锥S-ABC中，底面为边长为6的等边三角形，SA=SB=SC，三棱锥的高为，则侧面与底面所成的二面角为（　　）

A45°

B30°

C60°

D65°

正确答案

A

解析

解：如图所示，过点S作SO⊥底面ABC，点O为垂足，

连接OA、OB、OC，则Rt△OAB≌Rt△OBC≌Rt△OCA，∴OA=OB=OC，

∴点O为等边△ABC的中心．

延长AO交BC于点D，连接SD．

则AD⊥BC，再根据三垂线定理可得BC⊥SD．

∴∠ODS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角．

根据重心定理可得：OD===．

在Rt△SOD中，tan∠ODS===1，∴∠ODS=45°．

∴侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角为45°．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F．

（1）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

（2）在线段BP上是否存在一点H满足=λ，使得DH与平面DPC所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）

∴=（，，0），=（-，-，），=（-，，0）

设平面BCP的法向量=（1，y，z），则

解得y=-，z=，可得=（1，-，），

同理可得平面DCP的法向量=（1，，2），

∴cos＜，＞=

因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于；

（2）设H（x′，0，z′），则∵=λ，

∴（x′-1，0，z′）=λ（-1，0，），

∴x′=1-λ，z′=λ，

∴=（1-λ，-，λ），

∵平面DCP的法向量=（1，，2），DH与平面DPC所成角的正弦值为，

∴=，

∴-590λ+292=0．

∴．

解析

解：（1）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）

∴=（，，0），=（-，-，），=（-，，0）

设平面BCP的法向量=（1，y，z），则

解得y=-，z=，可得=（1，-，），

同理可得平面DCP的法向量=（1，，2），

∴cos＜，＞=

因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于；

（2）设H（x′，0，z′），则∵=λ，

∴（x′-1，0，z′）=λ（-1，0，），

∴x′=1-λ，z′=λ，

∴=（1-λ，-，λ），

∵平面DCP的法向量=（1，，2），DH与平面DPC所成角的正弦值为，

∴=，

∴-590λ+292=0．

∴．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E为侧棱SC的中点．

（1）求证：SA∥平面EDB；

（2）求二面角E-DB-C余弦值的大小．

正确答案

证明：（1）连接AC交BD于0，

连接OE，

∵E为侧棱SC的中点，0是AC的中点，

∴OE∥SA，

∵SA⊄平面EDB，OE⊂平面EDB；

∴SA∥平面EDB．

解：（2）∵侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，

∴以D为坐标原点，以DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间坐标系如图：

则A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0）

S（0，0，4），E（0，1，2），

设平面BDE的法向量为=（x，y，z），

则=（2，2，0），=E（0，1，2），

由得，

令z=1，则y=-2，x=2，

即=（2，-2，1），

平面DBC的法向量为=（0，0，1）

则cos＜，＞===；

即二面角E-DB-C余弦值的大小为．

解析

证明：（1）连接AC交BD于0，

连接OE，

∵E为侧棱SC的中点，0是AC的中点，

∴OE∥SA，

∵SA⊄平面EDB，OE⊂平面EDB；

∴SA∥平面EDB．

解：（2）∵侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，

∴以D为坐标原点，以DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间坐标系如图：

则A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0）

S（0，0，4），E（0，1，2），

设平面BDE的法向量为=（x，y，z），

则=（2，2，0），=E（0，1，2），

由得，

令z=1，则y=-2，x=2，

即=（2，-2，1），

平面DBC的法向量为=（0，0，1）

则cos＜，＞===；

即二面角E-DB-C余弦值的大小为．

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题型：简答题

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简答题

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．

（1）证明：面PAD⊥面PCD；

（2）求AC与PB所成的角的余弦值；

（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

正确答案

（1）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，．

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．…（4分）

（2）解：∵，

∴，

∴AC与PB所成角的余弦值为…（8分）

（3）解：设平面AMC，

∵=（1，1，0），=（0，1，，

∴，

可得，

同理可得平面BMC的一个法向量，

∴

∴所求二面角的余弦值为…（12分）

解析

（1）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，．

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．…（4分）

（2）解：∵，

∴，

∴AC与PB所成角的余弦值为…（8分）

（3）解：设平面AMC，

∵=（1，1，0），=（0，1，，

∴，

可得，

同理可得平面BMC的一个法向量，

∴

∴所求二面角的余弦值为…（12分）

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题型：单选题

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单选题

如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：过A作AE⊥PB于E，连接EC，PO，连接AC、BD交于点O

∵PO是正四棱锥P-ABCD的高，PO⊥面ABCD，AC⊂平面ABCD

∴AC⊥PO

又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，PO、BD是平面PBD内的相交直线

∴AC⊥平面PBD，得PB⊥AC

∵AE⊥PB，AC、AE是平面ACE内的相交直线

∴PB⊥平面ACE，得CE⊥PB

因此，∠AEC是二面角A-PB-C的平面角

设AB=1，得AC=

∵正四棱锥P-ABCD中，PA=PC，∠APC=60°，

∴△ACP是正三角形，得PA=PC=AC=

△PAB中，cos∠PBA=

∴Rt△ABE中，BE=ABcos∠PBA=，AE==，同理得到CE=，

△AEC中，cos∠AEC=-，

即二面角A-PB-C的平面角的余弦值为-，

故选：B

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