热门试卷

解：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

各点坐标 A（0，0，0）S（0，0，2）D（1，0，0）C（2，2，0）

=（1，0，-2）=（2，2，-2），

设面SCD的一个法向量为，

则即取z=1．则 

又=（0，0，2）

|cos===．∴直线SA与平面SCD所成角的正弦值等于．

（2）设SA=a，则 S（0，0，a），=（1，0，-a） =（2，2，-a），

设面SCD的一个法向量为，则即 取z=1．则

又面SAB的一个法向量为=（1，0，0），|cos＜＞|===，解得a=

证明：（1）∵正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，

∴CE⊥平面ABCD，

以C为坐标原点，以CD，CB，CE分别为x，y，z轴建立坐标系如图：

∵AB=，CE=2AF=2．

∴C（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），A（，，0），F（，，1），E（0，0，2），

则=（-，-，2），=（，-，0），=（，0，-1），

则•=（-，-，2）•（，-，0）=-2+2+0=0，

•=（，-，2）•（，0，-1）=2-0-2=0，

即AE⊥BD，AE⊥BF，

∵BD∩BF=B，

∴AE⊥平面BDF；

（2）设平面DEF的法向量为=（x，y，z）

=（-，0，2），=（0，，1），

则，得，

令z=，则y=-1，x=2，

即=（2，-1，），

设平面EFB的法向量=（x，y，z），

=（，，-1），），=（，0，-1），

则，即，

令z=，则x=1，y=0，

即=（1，0，），

则cos＜，＞====，

即二面角D-EF-B的余弦值为=．

解：（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥底面ABC，所以A1A⊥AB，

又AB⊥AC，AC∩A1A=A，所以AB⊥面AA1C1C，则AB为四棱锥B-AEFC的高．

在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以．

所以VB-AEFC=．

（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（2，0，4），

，

设平面BEF的法向量为，则

，则，取z=1，得x=-1，y=1．

所以．

平面ABC的一个法向量为，

则．

所以△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值为．

解：（1）当点A在平面BCDM上的投影在MB上时，

即AH⊥面BCDM，

则AH⊥MB，

则∠ACH是直线AC与平面BCDM所成的角，

则矩形中，过H分别作HF⊥AB，HG⊥BG，

∵AD=4，AB=6，且MD=1，

∴AM=3，BM==3，

则AH===，

AH2=AF•AB，

即AF===，HF==，

则CG=CB-BG=6-=，HG=BF=AB-AF=6-=，

则CH==6，

AC===，

则sin∠ACH===，

即直线AC与平面BCDM所成角的正弦值为；

（2）当点A在平面BCDM上的投影在DC上时，

∵MD∥BC，

∴过A点作BC的平行线，

∵点A在平面BCDM上的投影在DC上，BC⊥CD，

∴BC⊥面ACD，

∴BC⊥AD，BC⊥AC，

∴可以得到∠DAC即为所求的二面角．

∵MD=1，∴AM=3，

折叠后AD===2，

在直角三角形ACB中，BC=4，AB=6，

则AC===2，

由余弦定理得cos∠DAC===，

sin∠DAC=，

则平面ABC与平面AMD所成二面角的正切值tan∠DAC==-．

证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间坐标系．

设底面正方形的边长是a．

连接AC，BD相交于G连EG

…（2分）

依题意得：A（a，0，0），P（0，0，a），E

由于底面ABCD是正方形，故G（

∴，

即PA∥EG，EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB

故PA∥平面EBD．…（6分）

（Ⅱ）依题意得：B（a，a，0），

，

，

由已知EF⊥PB

故，PB⊥平面EFD                         …（10分）

（Ⅲ）由题意知平面PDC的法向量

由（Ⅱ）知平面PDC的法向量 ∴

∴二面角P-DE-F的余弦值是．…（14分）

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD=AB=2．

在△ADE中，AE=，DE=1，

∴AD2=DE2+AE2．

故∠AED=90°，即AE⊥CD．

又AB∥CD，

∴AE⊥AB．

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

∴PA⊥AE．又∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB

又∵AE⊂平面AEF，平面AEF⊥平面PAB．       

（2）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，

∴平面PAE⊥平面PAB，∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥CD．

由（1）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，

∴CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PAE．

∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面．

所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．

在Rt△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，

即PE=．

又PA=2，∴．

故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．

∵PA=AB=2，，

∴A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），

=（0，，-2），=（-1，0，0），=（0，，0），

由（1）知AE⊥平面PAB，

故平面PAB的一个法向量为

设平面PCD的一个法向量为，

则，即，

令y=2，则z=，x=0，

则=（0，2，）．

∴cos＜＞===．

故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

解：（1）根据菱形对角线的性质可得：AC⊥BD，且相互平分．

在Rt△OAB中，由勾股定理可得边长AB==cm．

（2）由直棱柱的性质可知：B1B⊥底面ABCD，C1C⊥底面ABCD，

∴B1B⊥AB，B1B⊥BC，∴∠ABC是侧面ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角，

∵===，

∴cos∠ABC==，

∴．

同理∠BCD是侧面CDD1C1与BCC1B1所成的二面角的平面角，求得．