热门试卷

（1）证明：根据题意，在△ABD中，AE⊥BD，

∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴AE=

∴DE=，

∵cos∠BDC=，∴

当△ACE为直角三角形时，有，即时，△ACE为直角三角形

此时∵AE⊥BD，AE⊥EC，BD∩EC=E

∴AE⊥面BCD，∴AE⊥CD． 

（2）解：∵二面角A-BD-C的大小为90°，AE⊥BD，∴AE⊥面BCD，

过E作BC的垂线交BC于F，连接AF，

∵AE⊥BC，BC⊥EF，∴BC⊥面AEF，∴BC⊥AF，

∴∠AFE就是二面角A-BC-D的平面角，

∵EF=，而AE=，

∴．

（1）证明：∵AE⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，

∴AE⊥CM

∵AC=BC，M为AB的中点

∴CM⊥AB，又AB∩AE=A

∴CM⊥平面ABDE

∵DE⊂平面ABDE

∴CM⊥DE；

（2）解：∵AE⊥平面ABC，AE⊂平面AEDC

∴平面AEDC⊥平面ABC

过M作MO⊥AC，则MO⊥平面AEDC

作MF⊥EC，连接OF，则OF⊥EC，

∴∠MFO为锐二面角D-EC-M的平面角

设AC=BC=BD=2AE=2a，则AM=MC=，∴MO=a

△EMC中，，

∴△EMC是直角三角形，

∴a

∴sin∠MFO==，

∴cos∠MFO=

解：（1）设BD与AC交于O，作OK⊥AA1于K，连接DK，则DK⊥AA1，OD⊥OK，

故∠DKO为二面角D-A1A-C的平面角，

∵∠OAK=60°，∴OK=

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO==

∴tan∠DKO=2，

∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是

∴二面角D-A1A-C的大小为；

（2）连结A1O、A1B，由于B1B∥平面A1A DD1，所以B、B1到平面A1A DD1的距离相等，

设点B到平面A1A DD1的距离等于h．

在△AA1O中，=3

∴

∴A1O⊥AO

而平面A A1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD

由上述第（1）问有，ED⊥A1A1且=

∴==

又==

由有

∴=

即点B1到平面A1ADD1的距离

（3）存在，点P在C1C的延长线上且CP=C1C，证明如下：

延长C1C到P使CP=C1C，连接B1C，BP，则BP∥B1C

∴BP∥A1D

又A1D 平面⊂DA1C1，BP⊄平面DA1C1，

∴BP∥平面DA1C1．

解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3．

（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．

∵AE：EB=CF：FA=1：2，

∴AF=AD=2．…（2分）

而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．

又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…（4分）

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，

∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，

∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．…（6分）

（2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．

以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…（7分）

．…（8分）

∴．…（9分），

…（10分），

．…（11分），

．…（12分），

．…（13分）

因为二面角B-A1P-F为钝角，．…（14分）

解：（1）∵棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

∴AA1⊥平面ABCD，

又AB=AD，CB=CD，

故△ABC≌△ADC

则∠BAC=∠DAC

故AE为等腰△BAD中顶角的角平分线

故AE⊥BD

即AC⊥BD，AC是A1C在平面ABCD上的射影，由三垂线定理知A1C⊥BD                              …（4分）

（2）连接A1E，C1E，

∵E为AC与BD的交点且AC⊥BD，

∴A1E⊥BD，C1E⊥BD，

∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角，…（6分）

∵AB⊥BC，

∴AD⊥DC，

∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，

又∵A1D1=AD=2，D1C1=DC=2，A1A=，AC⊥BD，

∴A1C1=4，AE=1，EC=3，

∴A1E=2，C1E=2，

在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，

∴∠A1EC1=90°，

∴二面角A1-BD-C1为90°                                …（10分）

（ 3）∵AD⊥DC，

∴AD⊥平面CD1，过B作BF∥AD交CD于F，

则∠FBC1为所求的角，BF⊥平面CD1，

∵AD=AB=2，AD⊥DC，AC⊥BD，

∴CD=CB=2，

∴∠BCD=60°，

在Rt△BCF中，BF=BCsin60°=3，

∵BC1=，

∴cos∠FBC1==

∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为                …（14分）

解：（1）证明：根据条件，A1O⊥底面ABCD，AC⊥BD；

∴OB，OC，OA1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

O（0，0，0），A（0，-1，0），B（2，0，0），C（0，1，0），D（-2，0，0），A1（0，0，2），B1（2，1，2），D1（-2，1，2）；

∴，设在侧棱AA1上存在点E，使OE⊥平面BB1D1D；

∵A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1AO；

∴平面A1AO⊥平面ABCD，过E作EF⊥AO，垂足为F，则EF⊥平面ABCD，且；

∴设E（0，，b），-1≤a≤0，0≤b≤2，；

设平面BB1D1D的法向量为，则：

；

取z=1，则，则∥；

存在k使，；

∴（0，-1，b）=（0，-2k，k）；

∴；

∴b=；

∴，EF⊥AF；

∴；

即在侧棱上存在一点E，使OE⊥平面BB1D1D，且AE=；

（2）设平面A1B1D的法向量为，，则：

；

取x1=1，则；

同理设平面D1B1D的法向量为，根据可求出；

∴设二面角A1-B1D-D1的大小为θ，则cosθ=；

∴二面角A1-B1D-D1的余弦值为．