- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=a，D、E分别是BB1、CC1上的点，满足BC=EC=2BD，则平面ABC与平面ADE所成的二面角的大小为（ ）
正确答案
解析
∵BC=EC=2BD，
∴BD是△CEF的中位线，
∴BC=BF=AB=AC，
∴∠CAF=90°，
∴AC⊥AF，
又∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴∠EAC即是平面ABC与平面ADE所成的二面角的平面角，
又∵AC=CE，
∴∠EAC=45°，
故选B．
A
B1
C
D
正确答案
解析
△ABC为正三角形；
∴BO⊥AC；
AE⊥平面ABC，OF∥AE；
OF⊥平面ABC；
∴OB，OA，OF三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，
取AB中点G，连接CG，则CG⊥AB，且G（
∵AE⊥平面ABC；
∴AE⊥CG，即CG⊥AE，AE∩AB=A；
∴CG⊥平面ABE；
∴
∵CE与平面ABE所成的角为α；
∴
∵
∴sinα∈
∵k＞0，∴sinα=
∴由
∴此时E（
AE⊥平面ABC；
∴向量
设平面BDE的法向量为
∴
∴
设平面BDE与平面ABC所成角为θ，则：cosθ=
∴
∴平面BDE与平面ABC所成角的正切值为
故选C．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的余弦值．
正确答案
（Ⅱ）解：AC⊥BD=O，作BE⊥PC，连接OE，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，BE∩BD=B，∴PC⊥面BDE，∴OE⊥PC，∴∠BE0即二面角B-PC-A的平面角．∵底面ABCD为正方形，AD=2，∴AC=2
解析
（Ⅱ）解：AC⊥BD=O，作BE⊥PC，连接OE，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，BE∩BD=B，∴PC⊥面BDE，∴OE⊥PC，∴∠BE0即二面角B-PC-A的平面角．∵底面ABCD为正方形，AD=2，∴AC=2
在立方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1为A1D1的中点，求二面角E1-AB-C的大小．
正确答案
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB⊥面ADD1A1，
∴E1A⊥AB，DA⊥AB，则∠E1AD为二面角E1-AB-C的平面角．
∵E1为A1D1的中点，过E1作E1G⊥AD，垂足为G，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
则
∴tan
∴二面角E1-AB-C的大小是arctan2．
解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB⊥面ADD1A1，
∴E1A⊥AB，DA⊥AB，则∠E1AD为二面角E1-AB-C的平面角．
∵E1为A1D1的中点，过E1作E1G⊥AD，垂足为G，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
则
∴tan
∴二面角E1-AB-C的大小是arctan2．
（1）求A1D与平面AD1E所成的角；
（2）求二面角D-CE-D1的平面角的正切值．
正确答案
解：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵AD=AA1=1，∴A1D⊥AD1
又∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥侧面ADD1A1，
A1D⊂侧面ADD1A1，
∴A1D⊥AB即A1D⊥AE，
∵AD1∩AE=A，AD1，AE⊂面AD1E，
∴AD1⊥面AD1E，即A1D与平面AD1E所成的角为90°；
（2）连结DE，在矩形ABCD中，
∵AB=2，AD=1，且E为AB之中点，∴DE⊥CE且
又∵DD1⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，∴DD1⊥CE，
∵DD1∩DE=D，DD1、DE⊂面DD1E，∴CE⊥面DD1E，
∵D1E⊂面DD1E，∴D1E⊥CE，
因此，∠DED1是二面角D-CE-D1的平面角
在Rt△DD1E中，
解析
解：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵AD=AA1=1，∴A1D⊥AD1
又∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥侧面ADD1A1，
A1D⊂侧面ADD1A1，
∴A1D⊥AB即A1D⊥AE，
∵AD1∩AE=A，AD1，AE⊂面AD1E，
∴AD1⊥面AD1E，即A1D与平面AD1E所成的角为90°；
（2）连结DE，在矩形ABCD中，
∵AB=2，AD=1，且E为AB之中点，∴DE⊥CE且
又∵DD1⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，∴DD1⊥CE，
∵DD1∩DE=D，DD1、DE⊂面DD1E，∴CE⊥面DD1E，
∵D1E⊂面DD1E，∴D1E⊥CE，
因此，∠DED1是二面角D-CE-D1的平面角
在Rt△DD1E中，
已知在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的点，且CE=2，则二面角C1-B1D1-E的大小的正切值是______．
正确答案
解析
B1D1的中点为O，连接OC1，OE，
∴根据正方体可得出：OC1⊥D1B1，OE⊥D1B1，
∴∠C1OE为二面角C1-B1D1-E的平面角，
在Rt△OC1E中，OC1=3
∴tan∠C1OE=
故答案为：
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且长分别为a，b，c，又（a2+b2）c=
正确答案
1
解析
解：如图，根据已知条件得：V=
∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P；
∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB；
∴PC⊥AB，即AB⊥PC；
又PO⊥底面ABC，AB⊂底面ABC；
∴PO⊥AB，即AB⊥PO，PC∩PO=P；
∴AB⊥平面PCO，CO⊂平面PCO；
∴AB⊥CO，即AB⊥CD，连接PD，∵AB⊥PO，AB⊥CD，CD∩PO=O；
∴AB⊥平面PCD，PD⊂平面PCD；
∴AB⊥PD，∴∠PDC是侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，∴∠PDC=60°；
在Rt△PAB中，PA=PB=a，∴PD=
∴在Rt△PCD中，∠CPD=90°，∠PDC=60°，∴PC=c=PDtan60°=
∴V=
故答案为：1．
在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=
正确答案
解析
解：根据题意画出图形：
∵BD⊥l，∴AE⊥l．∴ED⊥平面CAE．
又AC⊥l，∴∠CAE是二面角α-l-β的平面角．
由矩形ABDE得EA=2，ED=1．
在Rt△CED中，由勾股定理得CE=
∴△ACE是等边三角形，∴∠CAE=60°，∴
故答案为：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-B1C-A1的平面角的正切值为______．
正确答案
解析
解：画出图形如图，连接AC1，AD1，A1D交点分别为O，E，
二面角A-B1C-A1的平面角的正切值，就是求平面AB1C与平面B1A1DC二面角的正切值．
易证OE⊥B1C，AO⊥B1C，
在图形中，∠EOA就是所求二面角，它的正切值为
故答案为：
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成角为
（1）证明：点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）求二面角C-AB1-B的大小．
正确答案
解：（1）过B1点作B1O⊥BA于点O．
∵侧面ABB1A1⊥底面ABC
∴B1O⊥面ABC，
∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC所成的角，可得∠B1BO=
在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=BB1cos
又∵BB1=AB=2，∴BO=
∴O是AB的中点，可得点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点…（6分）
（2）连接AB1，过点O作OM⊥AB1，连线CM、OC，
∵正三角形ABC中，O是AB的中点，∴OC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA1BB1，平面ABC∩平面AA1BB1=AB
∴OC⊥平面AA1B1B，可得OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影
∵OM⊥AB1，∴AB1⊥CM，可得∠OMC是二面角C-AB1-B的平面角
∵等边三角形ABC中，OC=BCsin60°=
∴在Rt△OCM中，
∴二面角C-AB1-B的大小为arctan2．…（12分）
解析
解：（1）过B1点作B1O⊥BA于点O．
∵侧面ABB1A1⊥底面ABC
∴B1O⊥面ABC，
∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC所成的角，可得∠B1BO=
在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=BB1cos
又∵BB1=AB=2，∴BO=
∴O是AB的中点，可得点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点…（6分）
（2）连接AB1，过点O作OM⊥AB1，连线CM、OC，
∵正三角形ABC中，O是AB的中点，∴OC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA1BB1，平面ABC∩平面AA1BB1=AB
∴OC⊥平面AA1B1B，可得OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影
∵OM⊥AB1，∴AB1⊥CM，可得∠OMC是二面角C-AB1-B的平面角
∵等边三角形ABC中，OC=BCsin60°=
∴在Rt△OCM中，
∴二面角C-AB1-B的大小为arctan2．…（12分）
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