热门试卷

解：（1）证明：连接MO，因为几何体是正四棱锥P-ABCD，M是侧棱PC的中点，O为底面正方形的中心．

所以MO∥PA，MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，

∴PA∥平面BDM；

（2）取BC的中点E，连接PE，OE，因为几何体是正四棱锥P-ABCD，O为底面正方形的中心，

∴PE⊥BC，OE⊥BC，∴二面角P-BC-A的平面角是∠PEO，

∵PA=2，AB=1，∴OE=，PE==，

cos∠PEO===．

二面角P-BC-A的余弦值为：．

解：（Ⅰ）依题可知AC⊥PC，BC⊥PC，

∴∠ACB=θ，…（2分）

当时，有AC⊥BC，PC∩BC=C，

∴AC⊥平面PBC，

∵AC⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面PBC…（6分）

（Ⅱ）如图，以点C为坐标原点，在平面PBC内垂直于BC的直线为x轴，CB，CP所在的直线分别为y轴，z轴，

建立空间直角坐标系C-xyz…（7分）

则，，C（0，0，0）P（0，0，2）

又点D为PB的中点，

∴

设平面ACD的法向量为

则，

∴，

∴，取，

∴x1=1，z1=-3，

∴…（10分）

又平面BCD的法向量…（11分）

设二面角B-CD-A的大小为α，

∴

∴锐二面角B-CD-A的余弦值为…（13分）

（本小题13分）

解：（Ⅰ）∵底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，

O为AC，BD的交点，且PO⊥底面ABCD，．

∴，，取AB中点E，

连接DE，PE，则有四边形BCDE为平行四边形，

则BC∥DE

故∠PDE为异面直线PD与BC所成角（或其补角）…（3分）

又，

由余弦定理求得：

…（5分）

（Ⅱ）连接OE，则OE⊥AB，AB⊥平面POE，

∴∠PEO即为所求二面角的平面角，

∵BE=，BO=2，OE⊥AB，

∴OE==，

∴∠PEO=45°…（9分）

（Ⅲ）连接OM，由题设，PC⊥BD，

若PC⊥平面BMD，只须PC⊥OM即可，

在Rt△POC中，，

∴λ=2…（13分）．

（Ⅰ）证明：连接GE、GC

∵△PAD是等边三角形，G为PD边中点，

∴AG⊥PD…（1分）

∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD…（2分）

∴CD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，∴AG⊥CG…（3分）

∵E、F分别为PA、BC中点，

∴，，∴，

∴四边形CFEG是平行四边形，∴CG∥EF…（4分）

∴AG⊥EF…（5分）

（Ⅱ）解：（图1）取AD中点H，连接PH，在等边△PAD中，PH⊥AD，则PH⊥平面ABCD，∴PH⊥CH且∠PCH是PC与平面ABCD所成的角，∴∠PCH=45°，…（7分）

设等边△PAD边长为a，则，

∵在矩形ABCD中，AB=2，

∴

解得…（9分）

∵PH⊥平面ABCD，∴PH⊥DF

过P做PK⊥DF于K，连接HK，则DF⊥平面PHK，则∠PKH就是二面角P-DF-A的平面角…（11分）

由及解得

∴在Rt△PDF中，…（12分）

∴求二面角P-DF-A的正切值为…（14分）

解：（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，

∵EG∥CC1，CC1⊄平面EFG，∴CC1∥平面EFG，

同理：BC∥平面EFG，

又∵BC、CC1⊂平面BCC1B1，∴平面EFG∥平面BCC1B1．

（2）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，

∴EG⊥平面ABC

∵EG∥CC1，∠FEG为直线EF与CC1所成的角

△EFG为Rt△，∴tan∠FEG===．

（3）取AF的中点H，连接GH、EH，

∵AC=BC，∴CF⊥AB，

又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，

有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，

∴∠EHG为二面角E-AB-C的平面角，

又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，，EG=CC1=a，

则．

解：【法一】（Ⅰ）当PC⊥AB时，作P在AB上的射影D，连接CD，则AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中点，

又PD∥AA1，∴P也是A1B的中点，即A1P：PB=1．

反之当A1P：PB=1时，取AB的中点D‘，连接CD'、PD'．

∵△ABC为正三角形，∴CD'⊥AB．

由于P为A1B的中点时，PD'∥A1A

∵A1A⊥平面ABC，∴PD'⊥平面ABC，∴PC⊥AB．…6′

（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，作P在AB上的射影D，则PD⊥底面ABC．

作D在AC上的射影E，连接PE，则PE⊥AC，∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角．

又∵PD∥AA1，∴，∴．

∴，

又∵，∴，∴，∴P-AC-B的大小为∠PED=60°．…12

【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A1（0，0，a）、．

（Ⅰ）由得，即，

∴，即P为A1B的中点，也即A1P：PB=1时，PC⊥AB．…4′

（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，P点的坐标是．

取．则，．

∴是平面PAC的一个法向量．

又平面ABC的一个法向量为．

∴，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…（12分）