热门试卷

证明：（1）在直角梯形ABCD中，BC⊥AC，

又∵PA⊥平面ABCD、BC⊂平面ABCD．

∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC，

在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM=．

在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM=，

∴AM=CM．

（2）连接DB交AC于F，

∵DC，∴DF=．

取PM中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，

又DG⊄平面MAC，FM⊂平面AMC，

∴DG∥平面AMC，连DN，GN，则GN∥MC，

∴GN∥平面AMC，又GN∩DG=G，

∴平面DNG∥平面ACM，

又DN⊂平面DNG，

∴DN∥平面ACM．

证明：（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，

∴点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线．

∴OD∥A1B，又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D． …（7分）

（2）由（1）知，侧面BCC1B1是正方形，又D、P分别为BC、CC1的中点，∴△CC1D≌△C1B1P，

∴∠CDC1=∠C1PB1，∴B1P⊥C1D，…（9分）

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，且侧面BCC1B1∩底面ABC=BC，

AD⊂底面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1，…（12分）

又B1P⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1P，又AD∩C1D=D，∴B1P⊥平面AC1D．…（14分）

证明：∵四边形ACA1C1为平行四边形，

∴连接AC1，则N为AC1与A1C的交点，

∵M、N分别是AB、A1C的中点，

∴MN∥BC1，

∵BC1⊂平面BCB1C1，MN⊄平面BCB1C1，

∴MN∥平面BCB1C1．

（Ⅰ）（证法一）

连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′，

又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；

（证法二）

取A′B′中点，连接MP，NP．而M，N分别为AB′，B′C′中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，

所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；

（Ⅱ）（解法一）连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故

V A′-MNC=V N-A′MC=V N-A′BC=V A′-NBC=．

（解法二）

V A′-MNC=V A′-NBC-V M-NBC=V A′-NBC=．

解：（1）证明：连接EO，OA．∵E，O分别为B1C，BC的中点，∴EO∥BB1．

又DA∥BB1，且．∴四边形AOED是平行四边形，

即DE∥OA，DE⊄面ABC．∴DE∥面ABC．

（2）由题DE⊥面CBB1，且由（1）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB1，∴AO⊥BC，

∴AC=AB．因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB，且AA1⊥CA，

∴CA⊥面AA1B1B，即CA为四棱锥的高．

设圆柱高为h，底半径为r，则V柱=πr2h，，

∴V锥：V柱 =．

（3）解：作过C的母线CC1，连接B1C1，则B1C1是上底面圆O1的直径，

连接A1O1，得A1O1∥AO，又AO⊥面CBB1C1，

∴A1O1⊥面CBB1C1，连接CO1，

则∠A1CO1为CA1与面BB1C所成的角，

设BB1=BC=2，则，

A1O1=1．（12分）

在Rt△A1O1C中，．

（I）证明：连接CM，由题意可得，，，MF=，

∴，

∴四边形MFDC为平行四边形，

∴DF∥CM．

∵DF⊂平面ADF，CM⊄平面ADF，

∴CM∥平面ADF．

（Ⅱ）解：∵M为EF的中点，

∴EM=AB=2，

又∵AB∥EF，∴四边形ABEM是平行四边形．

∴AM=BE=2，

又∵AF=2，MF=2，

∴△FAM为直角三角形且∠FAM=90°．

∴=2．

∵DA⊥面ABEF，且DA=1，∴DA是三棱锥D-MAF的高．

∴VM-ADF=VD-MAF===．

证明：（1）在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，

连接GH∵AM=FN∴MC=NB∵

∴∴MNHG为平行四边形；∴MN∥GH

又∵GH⊆面BEC，MN≠⊂面BEC∴MN∥面BEC

（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE∴AB⊥面BEC∵GH⊆面GEC∴AB⊥GH∵MN∥GH∴MN⊥AB

（3）∵面ABCD⊥面ABEF∴BE⊥面ABCD∴BE⊥BC

∵BG=，BH=

∴MN=GH=

=

=（）

=当且仅当时，等号成立；

∴当时，MN取最小值．

（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ACB=．

∴AC⊥BC

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，

∴BC⊥平面ACFE

（2）解：当EM=a时，AM∥平面BDF；

在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2，AD=DC=CB=a，AB∥CD，

所以∠ACD=∠CAB=∠DAC，

所以∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+=π，

所以∠DAC=，即∠CBN=．

又∠ACB=，CB=a，

所以CN=a，

连接FN，由AM∥平面BDF得AM∥FN，

因为四边形ACFE是矩形，所以EM=CN=a．